Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

6. SUPERFICI PARAMETRICHE
Figura 6.6: piano nello spazio
semplicità, nella figura 6.6 abbiamo messo sul piano il vettore ⃗n (anche se esso potrebbe
stare da tutt’altra parte). Ora, poichè ⃗n è ortogonale al piano, esso è ortogonale ad ogni
vettore che giace nel piano. In particolare esso è ortogonale al vettore ⃗r − ⃗r 0 . Vale dunque:
⃗n · (⃗r − ⃗r 0 ) = 0
Se ⃗n è un vettore di componenti (a, b, c), poichè ⃗r − ⃗r 0 = (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ), il prodotto
scalare diventa
a(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) + c(z − z 0 ) = 0
Questa è l’equazione scalare del piano. Spesso troviamo l’equazione scritta nella forma
ax + by + cz = d dove d = ax 0 + by 0 + cz 0
Osserviamo quindi che, data l’equazione di un piano possiamo ricavare facilmente un vettore
normale al piano: esso è dato da ⃗n = (a, b, c).
Ora, dati due vettori ⃗a e ⃗ b in R 3 , il prodotto vettoriale ⃗a × ⃗ b è un vettore che punta nella
direzione perpendicolare al piano individuato dai due vettori ⃗a e ⃗ b, mentre la sua lunghezza
è data da
|⃗a × ⃗ b| = |⃗a|| ⃗ b| sin θ
dove θ è l’angolo compreso dai due vettori (0 ≤ θ ≤ π). Da questa formula deduciamo che
se i due vettori sono paralleli allora il loro prodotto vettoriale è nullo e viceversa. Come
interpretazione geometrica si ha che la lunghezza del prodotto vettoriale rappresenta l’area
del parallelogramma individuato dai vettori ⃗a e ⃗ b. Per trovare le componenti del prodotto
vettoriale si ha la formula legata al determinante della matrice che ha sulla prima riga i
versori dell’asse delle x, delle y e delle z rispettivamente, sulla seconda riga le componenti
del vettore ⃗a e sulla terza riga le componenti del vettore ⃗ b. Si calcola il determinante della
matrice rispetto alla prima riga in modo da avere come risultato un vettore. Sia ⃗a = (a 1 , a 2 , a 3 )
e ⃗ b = (b 1 , b 2 , b 3 ). I versori unitari dei tre assi siano dati da ⃗i, ⃗j, ⃗ k. Il prodotto vettoriale ⃗a × ⃗ b è
dato da
∣ ⃗a × ⃗ ⃗i ⃗j ⃗ k ∣∣∣∣∣ b =
a 1 a 2 a 3 =⃗i
∣ a ∣ 2 a 3∣∣∣
− ⃗j
∣
b 2 b 3
∣ a ∣ 1 a 3∣∣∣
+
b 1 b ⃗ k
3
∣ a ∣
1 a 2∣∣∣
b 1 b 2
b 1 b 2 b 3
88
=⃗i(a 2 b 3 − b 2 a 3 ) − ⃗j(a 1 b 3 − b 1 a 3 ) + ⃗ k(a 1 b 2 − b 1 a 2 )
= (a 2 b 3 − b 2 a 3 , b 1 a 3 − a 1 b 3 , a 1 b 2 − b 1 a 2 )