Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

8. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
Andando a sostituire nell’equazione differenziale, si ottiene:
e −x ((−4b − 3a) cos (2x) + (4a − 3b) sin (2x))+
3(e −x ((2b − a) cos (2x) − (b + 2a) sin (2x))+
2(e −x (a cos (2x) + b sin (2x)) = −e −x sin (2x)
Si può semplificare l’equazione dividendo ambo i membri per e −x .
termini in sin (2x) e cos (2x) si ha:
Raccogliendo i
(2b − 4a) cos (2x) + (−4b − 2a) sin (2x) = − sin (2x)
Quindi:
{
2b − 4a = 0
−4b − 2a = −1
Risolvendo il sistema si trova a = 1
10 e b = 1 5 da cui y = e−x ( 1
10 cos (2x) + 1 sin (2x)).
5
Concludendo, l’integrale generale dell’equazione differenziale non omogenea da cui
siamo partiti è dato da:
y = c 1 exp −x + c 2 exp −2x + x3
2 − 9 4 x2 + 23 4 x − 51 8 + e−x ( 1
10 cos (2x) + 1 sin (2x))
5
Se si ha un problema di Cauchy, si risolve prima l’equazione differenziale cercando un
integrale generale. Successivamente, le costanti vengono determinate in base alle condizioni
iniziali date dal problema.
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