Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5. LE CURVE
A questo punto si fa un cambiamento di variabile (ancora!), ponendo w = sec u + tan u (l’espressione
al denominatore della funzione integranda), da cui dw = D(sec u + tan u)du =
(sec u tan u + sec 2 u)du (ritroviamo l’espressione al numeratore della funzione integranda), da
cui
∫ sec 2 ∫
u + sec u tan u 1
du = dw = ln |w| + costante
sec u + tan u
w
= ln | sec u + tan u| + costante
Torniamo ora all’integrale di sec 3 u riscrivendo diversamente la funzione integranda:
sec 3 u = sec3 u
2
= sec3 u
2
= sec3 u
2
= sec3 u
2
+ sec3 u
2
+ sec2 u sec u
2
+ (tan2 u + 1) sec u
2
+ tan2 u sec u
+ sec u
2 2
= sec3 + tan 2 u sec u
2
+ sec u
2
Per calcolare l’integrale di sec 3 u dobbiamo integrare i due termini della somma in cui
abbiamo scomposto sec 3 u. Del secondo termine sappiamo già quanto vale l’integrale. Per il
primo, basta osservare che
D(sec u tan u) = D(sec u) tan u + sec uD(tan u)
= sec u tan u tan u + sec u sec 2 u
= sec u tan 2 u + sec 3 u
Ma allora
∫ sec u tan 2 u + sec 3 ∫
u 1
du =
2
2 D(sec u tan u)du = 1 sec u tan u + costante
2
Ritornando all’integrale di prima e mettendo insieme i vari pezzi si ha
∫
sec 3 udu = 1 (sec u tan u + ln | sec u + tan u|) + costante
2
Quindi (finalmente siamo arrivati alla conclusione!!!!):
∫ √1 ∫
+ x2 dx = sec 3 udu = 1 (sec u tan u + ln | sec u + tan u|) + costante
2
Per tornare alla variabile originale x, da x = tan u si ha u = arctan x, da cui (sfruttando le
proprietà viste prima di sec u e tan u) sec u = √ 1 + tan 2 u = √ 1 + x 2 . Perciò, sostituendo
∫ √1
+ x2 dx = 1 (
x √ 1 + x
2 2 + ln | √ )
1 + x 2 + x| + costante
Sappiamo ora calcolare la lunghezza della spirale di Archimede.
Tornando alla formula
∫ θf √
L = k 1 + θ2 dθ
abbiamo
78
L = k
0
[ 1
(
θ √ 1 + θ
2 2 + ln | √ ) ] θ f
1 + θ 2 + θ| = k √
√
)
(θ f 1 + (θ f )
0
2
2 + ln | 1 + (θ f ) 2 + θ f |