Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - UniversitÃ degli ...

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INDICE 4.7 Estremi vincolati e moltiplicatori di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5 Le curve 57 5.1 Equazioni parametriche di una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.2 Grafico di una curva parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.3 Parametrizzare una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.4 Tangente ad una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.5 Lunghezza di un arco di funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.6 Lunghezza di una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.7 La curva cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.8 Sistema di coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.9 Curve in coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.9.1 La curva cardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.10Lunghezza di una curva polare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.10.1Lunghezze di alcune curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.11Funzioni a valori vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.12Le curve riviste come funzioni vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.13Retta tangente ad una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.14Curve orientate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.15Di nuovo sulla lunghezza di una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.16L’ascissa curvilinea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6 Superfici parametriche 83 6.1 Superfici parametriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.1.1 Sistema di coordinate sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.2 Piano tangente a una superficie parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.2.1 Equazione di un piano e vettore normale al piano . . . . . . . . . . . . . . 87 7 Integrali 91 7.1 Integrali dipendenti da parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.1.1 Integrali dipendenti da parametri per funzioni di una sola variabile . . . 91 7.1.2 Integrali dipendenti da parametri per funzioni di due variabili . . . . . . 92 7.2 Richiamo sugli integrali semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7.3 Integrali doppi su domini rettangolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 7.4 Integrali iterati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 7.5 Integrali doppi su domini generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.6 Proprietà degli integrali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.7 Cambiamento di variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.7.1 Significato dello jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7.8 Area di un dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.9 Cenni su integrali tripli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7.10Integrali curvilinei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 7.11Integrali di superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7.11.1Area di una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7.11.2Integrale di una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.12Solidi e superfici di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 8 Equazioni differenziali ordinarie 119 8.1 Cosa è un’equazione differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8.2 Il problema di Cauchy in locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 8.3 Teorema di Cauchy (esistenza e unicità globale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 8.4 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 8.5 Equazioni differenziali lineari del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 iv
Indice 8.6 Metodo di separazione delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 8.7 Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 8.8 Le equazioni differenziali lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 8.8.1 Cosa è uno spazio vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 8.9 L’equazione omogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 8.10L’equazione non omogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 8.11Equazioni lineari a coefficienti costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 8.12Metodo dei coefficienti indeterminati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 9 Forme differenziali 139 9.1 Introduzione alle forme differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 9.2 Integrali delle forme differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 9.3 Applicazione delle forme differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 9.4 Teorema fondamentale per gli integrali curvilinei . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 9.5 Forme differenziali lineari esatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 9.6 Le forme differenziali lineari chiuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Bibliografia 151 v
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Bibliografia [1] DAWKINS, P. (2007)
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