Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7. INTEGRALI
Figura 7.1:
Come si arriva alla definizione di ∫ b
a f(x)dx.
dove a ≤ x ≤ b. Per integrali di questo tipo, diciamo che stiamo integrando la funzione f(x)
nell’intervallo [a, b]. I punti a e b si dicono estremi dell’intervallo di integrazione.
Il concetto di integrale di una funzione si deriva considerando l’area che si trova sotto la
curva definita da y = f(x) nell’intervallo [a, b] (supponiamo per semplicità che la funzione f
sia positiva, ma il concetto si generalizza a funzioni negative o che hanno valori sia positivi
che negativi... il valore di un integrale può essere sia positivo che negativo, a seconda della
funzione da integrare).
Per calcolare l’area sottesa dalla funzione y = f(x) possiamo pensare di dividere l’intervallo
[a, b] in n parti uguali, in modo da avere n sottointervalli di ampiezza ∆x. In ciascuno
di questi sottointervalli scegliamo un punto x ∗ i (ad esempio il punto medio di ciascuno dei
sottointervalli) e consideriamo il rettangolo di ampiezza ∆x e altezza f(x ∗ i ) (si veda Figura
7.1). Ciascuno di questi rettangoli ha area pari a f(x ∗ i )∆x, quindi l’integrale può essere
approssimato mediante la somma delle aree di ciascun rettangolo:
∫ b
a
f(x)dx ≈ f(x ∗ 1)∆x + f(x ∗ 2)∆x + . . . + f(x ∗ n)∆x)
Per ottenere l’area esatta della nostra funzione, facciamo il limite per n che tende
all’infinito.
∫ b
a
f(x)dx = lim
n→∞
i=1
n∑
f(x ∗ i )∆x
7.3 Integrali doppi su domini rettangolari
Vediamo ora cosa accade se abbiamo una funzione di due variabili f(x, y). Se per funzioni
di una sola variabile integriamo su un intervallo (un sottoinsieme di R), per funzioni di due
variabili ha senso integrare su una regione di R 2 .
Assumiamo di avere una regione di R 2 data dal rettangolo D = [a, b] × [c, d]. Ciò vuol dire
che a ≤ x ≤ b mentre c ≤ y ≤ d.
Sia, inoltre, f(x, y) ≥ 0 per ogni coppia di punti (x, y) ∈ D, anche se quanto diremo ora si
può estendere al caso più generale di funzioni che assumono valori sia positivi che negativi.
La domanda che ci poniamo è la seguente: qual è il volume della regione che si trova
sotto il grafico della funzione f(x, y) e sopra il piano xy (si veda Figura 7.2)
Per prima cosa cerchiamo di approssimare il volume (in maniera analoga a quanto abbiamo
fatto per l’area nel caso di funzioni di una sola variabile). Per far ciò dividiamo l’intervallo
[a, b] in n parti uguali e l’intervallo [c, d] in m parti uguali, in modo da dividere D in tanti
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