Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7.11. Integrali di superficie
derivata di ⃗r rispetto alle variabili u e v, rispettivamente. Il discorso da fare è del tutto analogo
a quanto abbiamo visto nella sezione 7.7. L’area del parallelogramma, che approssima
l’area dell’elementino, è dunque uguale al modulo del prodotto vettoriale di ∆u⃗r u (u i , v j ) e
∆v⃗r v (u i , v j ).
L’area della superficie sarà dunque data dalla somma di tutte queste aree, facendo tendere
a infinito il numero degli elementini in cui suddividiamo la superficie. Si ha infatti la
definizione
Definizione 7.11.1 Data una superficie S di equazione ⃗r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), con
(u, v) ∈ D, allora l’area della superficie è data da
∫∫
area(S) = |⃗r u × ⃗r v |dA
D
dove ⃗r u = ( ∂x
∂u , ∂y
∂u , ∂z
∂u ) e ⃗r v = ( ∂x
∂v , ∂y
∂v , ∂z
∂v ).
Nel caso in cui la superficie è data da una funzione z = f(x, y), possiamo ricondurci al
caso precedente considerando ⃗r(u, v) = ⃗r(x, y) = (x, y, f(x, y)).
In tal caso
∣
⃗i ⃗j ⃗ k
∣
1 0
⃗r u × ⃗r v =
∣0 1
∂f
∂x
∂f
∣
∂y
√ (∂f ) 2
Perciò |⃗r u × ⃗r v | = +
∂x
∫∫
A(S) =
D
√ (∂f ) 2
+
∂x
= (− ∂f
∂x , −∂f ∂y , 1)
( ) 2 ∂f
+ 1 e l’area della superficie è
∂y
( ) 2 ∂f
+ 1dA
∂y
7.11.2 Integrale di una superficie
Siamo ora in grado di capire la formula da applicare nel caso in cui bisogna calcolare
l’integrale di una funzione g su una superficie S.
L’area dell’elementino dS si riconduce alla formula dell’area di una superficie che abbiamo
appena visto. Perciò, se la superficie S è data mediante una funzione z = f(x, y), con (x, y) ∈
D ⊂ R 2 , l’integrale di superficie di una funzione g(x, y, z) sulla superficie S è dato da
∫∫
S
∫∫
g(x, y, z)dS =
D
√ (∂f ) 2
g(x, y, f(x, y)) +
∂x
( ) 2 ∂f
+ 1dA
∂y
Dobbiamo prestare molta attenzione a questo tipo di integrali perchè l’integrale a destra è
un integrale doppio mentre l’integrale a sinistra è un integrale di superficie. Quindi il calcolo
di un integrale di superficie si riconduce ad un integrale doppio.
La superficie potrebbe essere scritta come y = f(x, z) o x = f(y, z). La definizione di
integrale di superficie è analoga (con le dovute sostituzioni) a quella appena scritta.
Se la superficie, invece, è scritta in forma parametrica :
x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v) (u, v) ∈ I
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