Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5.8. Sistema di coordinate polari
Figura 5.8: Considerazioni geometriche sul punto P della circonferenza quando il cerchio
rotola lungo l’asse x.
Figura 5.9: Rappresentazione grafica della curva cicloide per r = 2 e 0 ≤ θ ≤ 2π (a sinistra) e
0 ≤ θ ≤ 8π (a destra).
Questo risultato ci serve per trovare le coordinate del punto P . Si ha infatti (aiutandoci
con la Figura 5.8):
x = OT − P Q
y = CT − CQ
Considerando il triangolo rettangolo di vertici P , Q e il centro della circonferenza C, il lato
CP = r mentre i lati P Q e CQ sono dati dalle formule trigonometriche
P Q = CP sin θ = r sin θ,
CQ = CP cos θ = r cos θ
. Il lato CT vale r. Inserendo queste relazioni nelle espressioni precedenti troviamo
x = OT − P Q = rθ − r sin θ = r(θ − sin θ)
y = CT − CQ = r − r cos θ = r(1 − cos θ)
Abbiamo trovato, dunque, che le equazioni parametriche della curva cicloide sono date da
x = r(θ − sin θ), y = r(1 − cos θ)
Osserviamo che, sebbene queste equazioni le abbiamo ricavate considerando 0 < θ < π/2,
esse sono valide anche per altri valori di θ. Un arco completo della curva cicloide è dato dalla
rotazione completa della circonferenza e si ha, quindi, per θ ∈ [0, 2π].
5.8 Sistema di coordinate polari
Siamo abituati a rappresentare un punto nel piano utilizzando le coordinate cartesiane.
Vi è tuttavia un altro sistema di coordinate (introdotto da Newton) che può essere conve-
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