Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7.5. Integrali doppi su domini generali
Esempio
Es. 7.4.2 Proviamo ora a calcolare ∫ 3 ∫ 4
2 0 xy2 dxdy.
Questa volta dobbiamo integrare prima rispetto a x e poi rispetto a y. Abbiamo
∫ 3 ∫ 4
2
0
xy 2 dxdy =
∫ 3
2
∫ 3
[∫ 4
0
]
xy 2 dx dy
[ ] x
2 4
=
2 2 y2 dy
0
∫ 3
] 3
= 8y 2 dy =
[8 y3
2
3
2
= 8( 33
3 − 23
3 ) = 152
3
Osserviamo come abbiamo ottenuto lo stesso risultato scambiando l’ordine di
integrazione. Si ha infatti il seguente teorema.
Teorema 7.4.1 (di Fubini) Se f(x, y) è una funzione continua su D = [a, b] × [c, d] allora:
o,
∫∫
f(x, y)dA =
∫ b ∫ d
f(x, y)dydx =
∫ d ∫ b
D
a c
c a
∫∫
f(x, y)dA =
∫ b
( ∫ )
d
f(x, y)dy dx =
∫ d
D
a c
c a
f(x, y)dxdy
( ∫ )
b
f(x, y)dx dy
Quindi abbiamo due strade equivalenti per calcolare un integrale doppio di una funzione
continua su un dominio rettangolare, riconducendoci a integrali di una sola variabile che
sappiamo calcolare. Riassumendo:
G nel primo caso
∫∫
∫ b ∫ d
∫ (
b ∫ )
d
f(x, y)dA = f(x, y)dydx = f(x, y)dy dx
D
a
c
a
noi prima calcoliamo l’integrale che sta all’interno (tra parentesi tonde), vale a dire,
∫ d
f(x, y)dy considerando x come una costante e integrando rispetto alla variabile y. Come
risultato avremo una funzione che dipende solo da x e sarà questa che poi andremo
c
a integrare tra a e b rispetto alla variabile x;
G nel secondo caso
∫∫
∫ d ∫ b
∫ (
d ∫ )
b
f(x, y)dA = f(x, y)dxdy = f(x, y)dx dy
D
c
a
c
andiamo prima a calcolare l’integrale ∫ b
f(x, y)dx rispetto a x, considerando y come una
a
costante e poi andremo a integrare il risultato ottenuto rispetto a y nell’intervallo [c, d].
7.5 Integrali doppi su domini generali
A differenza degli integrali di funzioni di una sola variabile, in cui il dominio di integrazione
è sempre un intervallo, per integrali di funzioni di due variabili, il dominio di integrazione
c
a
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