Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - UniversitÃ degli ...

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9. FORME DIFFERENZIALI Ma sappiamo anche che ∫ ∫ ω = − −γ 2 Quindi ∫ ∫ ω = − +γ 1 +γ 2 ω +γ 2 ω da cui ∫ ∫ ω + ω = 0 +γ 1 +γ 2 Torniamo all’integrale su tutta la curva +γ: poichè +γ = +γ 1 ∪ +γ 2 si ha ∫ ω = +γ ∫ ω + +γ 1 ∫ ω +γ 2 Ma la somma di questi due integrali vale zero, quindi ∫ ω = 0 +γ L’asserto è dunque provato. (3) ⇒ (2) Siano date due curve +γ 1 e +γ 2 due curve generalmente regolari che hanno gli stessi estremi P 0 e P . Allora la curva +γ 1 ∪ −γ 2 è una curva chiusa generalmente regolare. Per la (3) vale ∫ +γ 1∪−γ 2 ω = 0 Ma ∫ ∫ ∫ ω = ω + +γ 1∪−γ 2 +γ 1 Quindi ∫ ∫ ω + ω = 0 +γ 1 −γ 2 −γ 2 ω da cui ∫ ∫ ∫ ∫ ω = − ω ⇒ ω = ω +γ 1 −γ 2 +γ 1 +γ 2 Abbiamo verificato il punto (2). Per completare la dimostrazione del teorema, andrebbe dimostrato che (2) ⇒ (1). Poichè la dimostrazione è abbastanza complicata, la tralasciamo. ✔ Come corollario si ha Proposizione 9.5.1 Siano A ⊂ R 2 un insieme aperto e connesso e ω una forma differenziale lineare di classe C 0 in A, con F primitiva. Allora, se +γ è una curva generalmente regolare e orientata contenuta in A, che ha come primo estremo P 0 e come secondo estremo P , si ha ∫ ω = F (P ) − F (P 0 ) +γ Dimostrazione. precedente. ✔ 148 Questo risultato lo abbiamo dimostrato al punto (1) ⇒ (2) del teorema
9.6. Le forme differenziali lineari chiuse 9.6 Le forme differenziali lineari chiuse Definizione 9.6.1 Una forma differenziale lineare ω = Xdx + Y dy di classe C 1 in A, insieme aperto di R 2 , si dice chiusa se per ogni punto P di A risulta ∂X ∂y = ∂Y ∂x Teorema 9.6.1 Data ω = Xdx+Y dy una forma differenziale lineare di classe C 1 in un insieme aperto A ⊂ R 2 , ω esatta =⇒ ω chiusa. Dimostrazione. Se ω è esatta, vuol dire che esiste una primitiva, F , tale che F x = X e F y = Y . Per ipotesi ω è di classe C 1 , cioè le derivate parziali di X e Y sono continue. Di conseguenza F è di classe C 2 (poichè le sue derivate parziali del secondo ordine coincidono con le derivate parziali prime di X e Y ). Inoltre si ha ∂F 2 ∂x∂y = ∂X ∂y e ∂F 2 ∂y∂x = ∂Y ∂x Per il teorema di Schwartz, le derivate parziali miste di F coincidono, risulta ∂X ∂y = ∂Y ∂x ∂F 2 ∂x∂y = ∂F 2 ∂y∂x , quindi L’asserto è provato. ✔ Osserviamo che il viceversa non vale sempre. Si possono avere forme differenziali chiuse che non sono esatte. Per poter avere l’implicazione ω chiusa ⇒ ω esatta, la forma differenziale lineare deve essere definita in un insieme particolare. Introduciamo, perciò, la definizione di insieme semplicemente connesso. Definizione 9.6.2 Un sottoinsieme di R 2 , A aperto, si dice semplicemente connesso se G è connesso G ogni curva generalmente regolare, chiusa e semplice contenuta in A è la frontiera di un insieme limitato contenuto in A. Dire che A è un insieme semplicemente connesso vuol dire che l’insieme è ”senza buchi“, in quanto ogni curva chiusa e semplice, generalmente regolare, può essere deformata con continuità fino a ridursi ad un singolo punto. Una corona circolare ha ”buchi“ e, infatti, non è semplicemente connesso. Il piano privato di un punto non è semplicemente connesso. L’interno di un cerchio è semplicemente connesso. La circonferenza non è semplicemente connesso. Teorema 9.6.2 Sia ω una forma differenziale lineare di classe C 1 in A aperto e semplicemente connesso. Allora se ω è chiusa, ω è esatta. 149
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Annamaria Mazzia Note di Analisi Ma
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INDICE 4.7 Estremi vincolati e molt
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CAPITOLO 3 Limiti, continuità, dif
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3.3. Derivate parziali Nel primo ca
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3.6. Differenziabilità di una funz
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CAPITOLO 5 Le curve A quelli che no
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5.1. Equazioni parametriche di una
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5.2. Grafico di una curva parametri
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5.11. Funzioni a valori vettoriali
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5.16. L’ascissa curvilinea poligo
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6. SUPERFICI PARAMETRICHE Figura 6.
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CAPITOLO 7 Integrali Compito della
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7.2. Richiamo sugli integrali sempl
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