okna, sita in viri

15.2 Lastnosti Laplaceove in z-transformacije 21
Množenje z eksponentno funkcijo
Laplaceova transformacija
L
Če velja x(t) ←−−−→ X(s), E = E x , potem za x(t) e s 0t
velja:
x(t) e s 0t
L
←−−−→ X(s − s 0 ) . (15.50a)
Konvergenčno območje E x se premakne za R{s 0 }:
Če velja x[n]
velja:
x[n]z n 0
z-transformacija
Z
←−−−→ X(z), E = E x , potem za x[n]z n 0
Z
←−−−→ X(z/z 0 ) . (15.51a)
Konvergenčno območje E x se spremeni za |z 0 | krat:
(s − s 0 ) ∈ E x → s ∈ E = E x + R{s 0 } (15.50b)
(z/z 0 ) ∈ E x → z ∈ E = |z 0 |E x
(15.51b)
Pomik konvergenčnega območja E x v desno v s-ravnini
povzroči dušenje signala v časovnem prostoru, pomik
v levo pa eksponentno naraščanje signala.
posebni primer: Če je s 0 imaginarno število, torej
s 0 = jω 0 , dobimo amplitudno moduliran signal. Njegova
Laplaceova transformacija je:
x(t) e jω 0t
L
←−−−→ X(σ + j[ω − ω 0 ])
(15.52a)
Konvergenčno območje E x se v tem primeru ne premakne,
saj je R{s 0 } = 0:
(s − jω 0 ) ∈ E x → s ∈ E = E x (15.52b)
(z/a) imenujemo tudi radialni pomik. Pol z = z 1 pri
X(z) se radialno premakne v z = z 0 z 1 pri X(z/z 0 ). Pri
0 < z 0 < 1 se razdalje od izhodišča z-ravnine do polov
krčijo, pri z 0 > 1 pa daljšajo (slika 15.14).
posebni primer: Če je z 0 kompleksno število z absolutno
vrednostjo enako ena:
|z 0 | = | e jω 0
| = 1 , z 0 ∈ C 1 (15.53a)
potem množenje x[n] z z 0 povzroči zasuk X(z) v z-
ravnini za kot ω 0 . To lahko predstavimo kot frekvenčni
premik, ki ga dobimo pri amplitudni modulaciji. Če za
zaporedje obstaja Fourierova transformacija, potem to
lastnost opišemo z:
z = e jω 0n x[n]
Z
←−−−→ X(e j(ω−ω 0) )
(15.53b)
Zasuk signalne osi
Če velja x(t)
velja:
x(−t)
Laplaceova transformacija
L
←−−−→ X(s) , E = E x , potem za x(−t)
L
←−−−→ X(−s) , E = −E x (15.54)
Obrat signalne osi povzroči, da pri enostranskih signalih
kavzalni signali postanejo nekavzalni in obratno, prehodni
signali pa zamenjajo svoj začetek in konec. V
obeh primerih se pri tem zasuče tudi konvergenčno območje
(slika 15.15).
Če velja x[n]
velja:
x[−n]
z-transformacija
L
←−−−→ X(z), E = E x , potem za x(−t)
Z
←−−−→ X(1/z) , E = 1 E x
(15.55)
Pri obratu signalne osi invertira konvergenčno območje.
Če pri X(z) velja R N < |z| < R Z , potem za X(z) velja
1/R Z < |z| < 1/R N (slika 15.15).
Lastnost zasuka signalne osi lahko dokažemo z uporabo definicije z-transformacije.
Njeno uporabnost pa si poglejmo na naslednjem preprostem primeru (zgled 15.2.2).
datoteka: signal_C