okna, sita in viri

15.6 Zgledi računanja inverznih transformacij 41
Torej je slika opisana s parcialnimi ulomki:
X(s) = 1 ( 1
a 2 + b 2 s + a + a − jb
j2b
= 1
a 2 + b 2 [ 1
s + a + 1
j2b
1
s − jb − a + jb )
1
j2b s + jb
( a − jb
s − jb − a + jb )]
s + jb
= 1 ( 1
a 2 + b 2 s + a + 1 as − jbs + jab + b 2 − (as + jbs − jab + b 2 )
)
j2b
s 2 + b 2
= 1 ( 1
a 2 + b 2 s + a + 1
)
− j2bs + j2ab
j2b s 2 + b 2 = 1 ( 1
a 2 + b 2 s + a + s + a )
s 2 + b 2
Od tu do inverzne transformacije je preprosto. Z upoštevanjem linearnosti Laplaceove
transformacije in ob uporabi tabele dobimo:
x(t) = 1
a 2 + b 2 (
exp−at + a b sinbt + cosbt )
Rezultata sta ekvivalentna (to lahko dokažemo z uporabo Eulerjevih obrazcev e jα =
cosα + j sinα, e − jα = cosα − j sinα).
♦
ZGLED 15.6.5 (Izpeljava inverzne z-transformacije)
Izpeljimo obrazec za inverzno z-transformacijo (15.79).
REŠITEV: Določiti jo moramo na več načinov, vsem načinom pa je v ozadju znana
relacija iz kompleksne analize.
{
∮
1
0 k ≠ 0
z k−1 dz =
2π j C
1 k = 1
(15.96)
Za rešitev krivuljnega integrala moramo določiti krivuljo C, ki mora obiti vse pole.
Če pomnožimo levo in desno stran enačbe, ki definira z-transformacijo, z z k−1 ,
dobimo:
X(z)z k−1 =
∞
∑
n=0
x[n] z −n z k−1 =
∞
∑
n=0
x[n] z k−n−1
ter rezultat integriramo po zaključeni krivulji C, ki je v območju konvergence:
∮
C
X(z)z k−1 dz =
∞
∑
n=0
∮
x[n] z k−n−1 dz . (15.97)
C
Zaradi (15.96) je na desni strani (15.97) različen od nič samo člen z k = n, zato sledi:
datoteka: signal_C
∮
C
X(z)z k−1 dz = x(k)(2π j) ,