okna, sita in viri

15.6 Zgledi računanja inverznih transformacij 37
Z uporabo izreka o konvoluciji (15.67a) dobimo:
x(t) = L −1 {X 1 (s)·X 2 (s)}
=
=
∫ t
0
∫ t
0
x 1 (t − τ)x 2 (t) dτ
e −b(t−τ)
} {{ }
x 1 (t)
(sinbτ)/b
} {{ }
x 2 (t)
dτ = e−bt
b
∫ t
= 1 ( asinbt − bcosbt
b 2 + a 2 + exp−at
b
expbτ sinbτ dτ
0
} {{ }
)
integral 459, []
Na koncu še vstavimo prave vrednosti za a in b in smo dobili iskani signal.
♦
ZGLED 15.6.2 (uporaba parcialnih ulomkov)
Za Laplaceovo transformiranko:
X(s) = 3s + 7
s 2 − 2s − 3
(15.92)
z metodo parcialnih ulomkov poiščimo originalni signal. Pri tem Števce parcialnih ulomkov
določimo z metodo istoležnih koeficientov in z limitnim postopkom.
REŠITEV:
1. Metoda istoležnih koeficientov:
X(s) = 3s + 7
s 2 − 2s − 3 = 3s + 7
(s − 3)(s + 1) = A
s − 3 + B
s + 1 . (15.93)
Pomnožimo obe strani z (s − 3)(s + 1):
3s + 7 = A(s + 1) + B(s − 3) = (A + B)s + (A − 3B)
Izenačimo koeficiente pri istih potencah s ter izračunamo A in B:
3 = A + B in 7 = A − 3B → A = 4 ter B = −1
Inverzna transformacija te slike je:
{
L −1 3s + 7
(s − 3)(s + 1)
2. Metoda z limitiranjem:
}
= 4L −1 { 1
s − 3
= 4 e 3t − exp−t
} { } 1
+ L −1 s + 1
Pomnožimo obe strani (15.93) s prvim korenom, to je s s − 3 in poiščimo vrednost
produktov z limitnim postopkom pri s → 3:
datoteka: signal_C
3s + 7
lim
s→3 s + 1 = A + lim B(s − 3)
= 3·3 + 7
s→3 s + 1 3 + 1 = 4 = A