okna, sita in viri

15.5 Inverzna Laplaceova in z -transformacija 33
Tabela 15.2
Pomembnejši z-transformacijski pari.
(nadaljevanje tabele s prejšnje strani)
oblika x[n] X(z) E poli in ničle
u[n]cosΩ 0 n
u[n]sinΩ 0 n
u[n]r n cosΩ 0 n
u[n]r n sinΩ 0 n
z 2 − (cosΩ 0 )z
z 2 − (2cosΩ 0 )z + 1
(sinΩ 0 )z
z 2 − (2cosΩ 0 )z + 1
z 2 − (r cosΩ 0 )z
z 2 − (2r cosΩ 0 )z + r 2
(r sinΩ 0 )z
z 2 − (2r cosΩ 0 )z + r 2
|z| > 1
|z| > 1
|z| > r
|z| > r
{
a
n
0 n N − 1
0 sicer
1 − a N z −N
1 − az −1 |z| > 0
Zato lahko imata različna originala isto sliko. Na srečo se te funkcije ne
pojavljajo v fizikalnih sistemih. O tem govori Lerchov izrek:
IZREK 15.1 (Lerchov izrek)
Če se omejimo na funkcije x(t), ki so eksponentnega reda pri t > N in odsekoma
zvezne v vsakem končnem intervalu = 0 ≤ t ≤ N, potem je inverzna Laplaceova transformacija
X(s) enolična transformacija.
Definicija inverzne Laplaceove in z-transformacije
Za krajše pisanje bomo po potrebi za izraza inverzna Laplaceova transformacija
in inverzna z-transformacija uporabili kratici L −1 oziroma Z −1 .
Laplaceova transformacija
1. dvostranska L −1 : Iz dvostranske transformiranke
X(s) časovno zveznega signala x(t) s konvergenčnim
območjem E rekonstruiramo signal x(t) z:
x(t) = L −1 {X(s)}
= 1
j2π
∫ σ+ j∞
σ− j∞
X(s) e st ds (15.78)
Integral računamo vzdolž abscise σ, ki obide vso konvergenčno
območje E .
z-transformacija
1. dvostranska Z −1 : Iz dvostranske transformiranke
X(s) zaporedja x[n] s konvergenčnim območjem
E rekonstruiramo zaporedje x[n] z:
x[n] = Z −1 {X(z)}
= 1 ∮
X(z)z n−1 dz (15.79)
j2π
Integral računamo vzdolž krožnice, ki obkroža vso konvergenčno
območje E s središčem v izhodišču kompleksne
ravnine.
datoteka: signal_C