okna, sita in viri

46 15. Laplaceova in z transformacija
Pri z-transformaciji predpostavimo, da je signal omejen v skladu s Shannonovim
pravilom, zato v enotsko krožnico preslikamo le del imaginarne osi
med −ω s /2 ter ω s /2. Frekvence tega dela imaginarne osi jω so enakomerno
porazdeljene po enotski krožnici. Pri bilinearni transformaciji to linearnost
izgubimo, saj drugače ni mogoče preslikati premice v krog.
Frekvenčne razmere bilinearne transformacije uvidimo, če v (15.105) upoštevamo
z = |z| e jω ter opazujemo dogajanja le na imaginarni, to je frekvenčni
osi:
1 − e−
jω
λ = jλ I = j
1 + e − jω = j e− jω/2 [ e − jω/2 − e − jω/2]
e [ − jω/2 e − jω/2 + e − jω/2]
upoštevamo še Eulerove obrazce in dobimo:
frequency pre-warping
λ I = j sin(ω/2)
cos(ω/2)
. (15.115)
Zaradi nelinearne povezave med dejansko frekvenco ω in navidezno frekvenco
λ I , nekateri izraz (15.115) imenujejo frekvenčno zvijanje. Z njim ob
upoštevanju povezav med trigonometrijskimi funkcijami definiramo transformacijo
frekvenčnega območja, ki je dostopno pri vzorčenju signala:
bilinearna transformacija s ↔ λ λ I = j tan(ω/2) . (15.116)
Funkcija λ I je periodična funkcija s periodo π. V tej periodi zavzame vse
vrednosti med −∞ in ∞. Z njo območje frekvenc med −ω s /2 in ω s /2 v s-
ravnini razširimo na vso imaginarno os λ ravnine. Z drugimi besedami, z njo
preslikamo trak med −ω s /2 in ω s /2 (slika 15.10 na strani 14) preslikamo v λ
ravnino. Imaginarna os v λ ravnini pa je z bilinearno transformacijo (15.105)
povezana z enotsko krožnico v z-ravnini (slika 15.21).
Slika 15.21
Preslikave med s, λ in z-ravnino.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504