okna, sita in viri

84 17. Analogna sita
iz katerega izpeljemo
(−1) n+1 S 2n = 1 −→ S 2n = (−1) −(n+1) = (−1) (n+1) −→
S = (−1) n+1
2n = (−1) ( 1 2 + 1
2n ) = (−1) 1 2 (−1)
1
2n
= j(−1) 1/2n
ki ga rešimo s pomočjo DeMoivreovega obrazca 1,2 . Izpeljemo lahko dva
obrazca za izračun korenov. Pri obeh upoštevamo, da je radij krožnice, na
kateri ležijo koreni |z| = | − 1| in začetni kot ϕ = π/2n (glej (17.41c) v spo-
1 Potenciranje kompleksnega števila (povzeto po [], str. 25): n-to potenco kompleksnega
števila izračunamo s pomočjo DeMoivreovega obrazca:
[r(cosϕ + j sinϕ)] n = r n (cosnϕ + j sinnϕ) , (17.41a)
Obrazec je uporabljiv pri poljubni vrednosti n: celi, ulomljeni, pozitivni ali negativni. Med
tem ko je pri celih vrednostih eksponentna n rezultat enoličen, je pri ulomljeni vrednosti,
torej pri korenjenju, rezultat večličen. Tako za kompleksno število z(cosϕ + j sinϕ) za
vsako naravno število n obstaja n rešitev enačbe:
x n = z . (17.41b)
Rešitev te enačbe je naslednjih n števil:
[
√
x k = n |z| cos ϕ + 2kπ + j sin ϕ + 2kπ ]
n
n
, k = 0,1,2, ·n − 1 . (17.41c)
Geometrično gledano so točke x k oglišča pravilnega n-kotnika s središčem v koordinatnem
izhodišču.
2 Potence imaginarne enote so:
j 2 = −1, j 3 = − j, j 4 = 1 , (17.42a)
in v splošnem
j 4n+k = j k . (17.42b)
Z upoštevanjem Eulerjevega obrazca:
e jϕ = cosϕ + j sinϕ
(17.42c)
lahko DeMoivreov obrazec zapišemo tudi v eksponentni obliki. Pri Butterworthovem situ,
je pride v poštev še naslednja izpeljanka (17.42c):
e jkπ/2 = cos kπ 2 + j sin kπ 2 = jk
(17.42d)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504