okna, sita in viri

17.9 Butterworthovo sito 85
dnjem povzetku DeMoivreovega obrazca). Prva oblika je:
S k = j| − 1| 1 2n
[
cos
( π
2n + 2kπ
2n
) (
+ j sin
π
2n + 2kπ )]
2n
(2k + 1)π (2k + 1)π
= −sin + j cos
2n
2n
k = 0,1,...2n − 1 .
(17.43)
Vidimo, da normirani koreni Butterworthovega polinoma ležijo enakomerno
razporejeni na krožnici s polmerom 1, oziroma koreni nenormiranega sita na
krožnici s polmerom ω m .
OPOMBA 17.1 Številčenje korenov, ki ga dobimo z DeMoivreovim obrazcem, se ne ujema s
številčenjem, ki smo ga uporabljali pri enotnem načrtovanju sit. Tam smo z indeksom 0 označili
koren, ki je imel le (negativni) realni del. Tukaj pa je z indeksom nič označen prvi izmed množice
korenov, ki imajo negativni realni del.
Druga oblika rešitve Butterworthovega polinoma upošteva, da množenje z
j povzroči zasuk korenov po krožnici za π/2 (glej (17.42c) in (17.42d) v
povzetku DeMoivreovega obrazca na strani 84):
S k = j| − 1| 1 2n e
j( π 2n + 2kπ
2n )
= e j π 2 e
j( 2n π + 2kπ
2n ) = e
j( π 2 + 2n π + 2kπ
2n ) = e
j n+2k+1
2n
π
(n + 2k + 1)π (n + 2k + 1)π
= cos + j sin
2n
2n
k = 0,1,...2n − 1 .
(17.44)
Primer lege za n = 3 kaže slika 17.17. Razmik med koreni je π/n radianov.
Koreni z indeksom k = 0,1,2,··· ,n − 1 imajo negativni realni del. Členi z
njimi tvorijo iskani polinom C(S).
s - ravnina
imaginarna os
s 0 s5 s0
s 1
s5 s1
realna os
Slika 17.17
Lega korenov Butterworthovega polinoma 3. reda.
Pozor, številčenje korenov se ujema z DeMoivreovim
obrazcem!
s
s
s s s
2 0
C( s) C( s)
4 2 0
datoteka: signal_C