Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

98y( n )nd y= . (4.5.5)ndxNhư vậy, ký hiệu trên có thể xem như một phân số. Nhờ công thức (4.5.5) ta dễ dàng biếnđổi công thức Leibnitz thành công thức của vi phân. Nhân cả hai vế của (4.5.3) với dx n ta sẽđượcnn k n−k kd ( fg) = ∑ C d f.d g(4.5.6)k=0nChú ý trong công thức (4.5.6) ta sẽ xem0 0d f = f,d g = g.Ví dụ 3: Cho y=f(x 2 ) với f là hàm khả vi. Tính d 2 y.Ta có:2= 2 ′( ) ,dy f x xdxLấy vi phân lần thứ hai ta được2 2 2 2d y = 2 d ⎡f ′( x ) x⎤dx 2 ⎡f ′( x ) dx xd( f ′( x )) ⎤⎣ ⎦=⎣+⎦dx2 2= 2 ⎡f ′( x ) dx xf ′′( x ).2xdx⎤⎣+⎦dx2 2 2 2 2d y= 2⎡2 x f′′ ( x ) f′( x ) ⎤⎣+⎦dx .Ví dụ 4: Xét hàm y = arctgx. Ta hãy tính y (n) theo y.12πVì x = tgy nên y′ = = cos y= cos ysin( y+)21 + x2Lấy đạo hàm lần thứ hai theo x (và nhớ rằng y là hàm của x) ta được⎡y sin y.sin( y ππ ⎤′′ = ⎢− + ) + cos y.cos( y+) . y′2 2⎥⎣⎦2 π 2π π= cos y. cos(2 y+ ) = cos y.sin(2 y+ + )2 2 2π= cos y.sin 2( y+).2Lấy đạo hàm lần nữa ta được(3) ⎡π2π ⎤y = ⎢− 2si n ycos y.sin 2( y+ ) + 2 cos ycos2( y+) .2 2⎥ y′⎣⎦3 π3π= 2cos ycos(3 y+ 2. ) = 2cos ysin3( y+)2 2Một cách tổng quát( n)nπy = ( n − 1)!cos y.sin n( y+ ).24.6 Công thức Taylor98