Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

13c = sup X.Theo tính chất của cận trên đúng, đối với ε = 1 , ta tìm được một số nguyên x ∈ X saochox > c – 1nhưng khi đó x+1> c. Bởi vì x + 1∈ X , điều này có nghĩa là c không phải là cận trên đúngcủa tập hợp X, mâu thuẫn với điều nói ở trên.Ví dụ 7: Giả sử X và Y là hai tập hợp số. Hãy chứng minh rằng nếu Y ⊂ X thì supX ≥ supY.Giải: Giả sử supX = A, supY = B. Ta phải chứng minh B ≤ A. Giả sử ngược lại B > A. Khiđó dựa vào tính chất cận trên đúng, ∀ ε > 0, ∃y∈Y sao cho y > B −ε.Bởi vì: B− A >0, nên ta có thể lấy ε = B− A. Ta nhận được y >B −ε = B –B +A, tức là y> A.Nhưng y∈ Y và Y ⊂ X nên y∈ X , theo định nghĩa sup suy ra y ≤ A . Mâu thuẫn nhậnđựơc chứng tỏ rằng B ≤ A.Ta có thể chứng minh khẳng định trên bằng cách khác như sau:Bởi vì Y⊂ X nên ∀x ∈ X và ∀y ∈ Y ta cóx ≤sup X, y≤supX và y ≤ sup Y .Nhưng supY là số thực nhỏ nhất trong các cận trên của Y và supX là một trong số cận trêncủa Y nênsup Y ≤ sup X.Nếu tập M đồng thời bị chặn dưới và bị chặn trên, ta gọi là tập bị chặn.Cuối cùng nếu tập M không bị chặn trên, thì ta nói rằng cận trên đúng của tập đó là + ∞ ,sup M = + ∞ . Tương tự nếu tập M không bị chặn dưới, ta nói rằng cận dưới đúng của tập đó là−∞, inf M=− ∞ .Ví dụ như sup(0,+ ∞ ) = + ∞ , inf(− ∞ ,0)= − ∞ .Giả sử M là tập hợp các số thực, nếu tồn tại một phần tử lớn nhất trong các phần tử củatập M, thì ta kí hiệu phân tử đó là maxM. Tương tự ta kí hiệu phân tử nhỏ nhất của tập M làminM.Ví dụ như max{2, –3, –5,0} = 2, min{2,–3, –5,0}=–5,|x|=max {(–x,x)} ∀ x .1.2.5 Trục số thựcBây giờ ta tìm cách biểu diễn hình học tập các số thực.Ta lấy một đường thẳng nằm ngang và trên đó ta lấy một điểm 0 nào đó làm gốc. Ta chonmột độ dài thích hợp làm đơn vị và đặt độ dài đó liên tiếp nhau từ điểm 0 sang trái và sangphải sao cho trải khắp đường thẳng. Ví dụ như số 2 được biểu diễn bằng “điểm 2”, tức là điểmở bên phải điểm 0 với khoảng cách 2 đơn vị.Ta gọi đường thẳng nói trên là đường thẳng thực hay trục số. Bất kỳ một số thực nàocũng được ứng với một điểm trên đường thẳng thực và ngược lại, bất kì một điểm nào trên