Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

82Do đó (4.1.4) có thể viết dưới dạngΔ f ( x ) = f′( x ) Δ x+ο( Δx ).(4.1.5)0 0Định lý 4.1.1 Nếu hàm y = f(x) khả vi tại x0Chứng minh: Thật vậy ta cósuy ra∈Uthì f(x) liên tục tại x 0 .f ( x +Δx) − f( x ) = f′( x ) Δ x+ο( Δx ),0 0 0[ ]lim f ( x +Δx) − f( x ) = lim f′( x ) Δ x+ lim ο( Δx)0 0 0Δx→0 Δx→0 Δx→0⇒ lim f( x +Δ x) = f( x ).Δx→04.2 Các qui tắc tính đạo hàm4.2.1 Các qui tắc tính đạo hàm0 0Trước hết ta hãy nhắc lại các qui tắc tính đạo hàm đã biếtĐịnh lí 4.2.1 Cho f, g:U → , trong đó U là tập hợp mở trong R, còn f, g là hai hàm khả vitại x0∈ U . Khi đó ∀c1,c2∈ các hàm cf 1+ cg 2, f.g và f g (nếu g(x 0) ≠ 0 cũng là các hàmkhả vi tại điểm x 0 và ta có các công thức sau:a) cf1cg′ 2x0 cf′ 1x0 cg′2x0( + )( ) = ( ) + ( )(4.2.1)b) f g ′ x0 f′ x0 g x0 g′x0 f x0( , )( ) = ( ) ( ) + ( ). ( )(4.2.2)4.2.2 Đạo hàm của hàm số hợp⎛ f ⎞′ f′ ( x ) g( x ) − g′( x ). f( x )( ) = , ( ) ≠ 0 . (4.2.3)⎝ ⎠0 0 0 0c) ⎜ ⎟ x0 g x20g g ( x0)Định lí 4.2.2 Cho g:U → V và f : V → trong đó U, V là hai tập hợp mở trong , hàmu=g(x) khả vi tại x0∈ U và hàm y=f(u) khả vi tại u 0 =g(x 0 ) ∈ V . Khi đó hàm hợp f0g khả vi tạix 0 và ta có công thứchay gọn hơn0 0 0 0( fg)( ′ x) = f′ ( gx ( )) g′( x)(4.2.4)y′ = y′ . u′. (4.2.5)x u xChứng minh: Theo công thức (4.1.5) hàm f khả vi tại u 0 , nên ta cóMặt khác hàm g khả vi tại x 0 nênThếΔ u vào biểu thức Δ f ta đượcΔ f = f( u +Δu) − f( u ) = f′( u ) Δ u +ο( Δ u).0 0 u 0Δ u = g( x +Δx) − g( x ) = g′( x ) Δ x+ο( Δ x).0 0 x 082