Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

301 1 1 1 1 1| x2n− xn| = + + ... + > + ... + = .n+ 1 n+2 2n 2n 2n21Do đó x2n− xn> ∀n ≥1, vậy dãy {x n } phân kỳ.2Ví dụ 2: Dùng tiêu chuẩn Cauchy để xét sự hội tụ của dãyGiả sử m > n, ta cóxmx n1 1 1= 1 + + + ... +2 2 22 3 n1 1 1− xn= + + ... + 1ε .Như vậy, khi cho trước ε > 0 bé tuỳ ý, nếu chọn số⎡1⎤p > ⎢ + 1ε ⎥⎣ ⎦(ký hiệu⎡1⎤⎢ε⎥⎣ ⎦là phầnnguyên của 1 ε ), khi đó: ∀ mn , > p thì | x − x | < ε .Vậy dãy hội tụ.2.2.6 Giới hạn trên và giới hạn dướia) Giới hạn riêng.Cho dãy {x n }. Nếu có một dãy con { x } của dãy trên hội tụ đến a:n klim xk→∞n km= athì ta nói rằng a là một giới hạn riêng của dãy {x n }.Ví dụ như dãy{(−1) n } có hai giới hạn riêng là 1 và −1.b) Giới hạn trên và giới hạn dưới:Cho {x n } là một dãy bị chặn. Với mỗi n ta đặtu = sup{ x , x ...} = sup xn n+ 1 n+ 2n+kk=1,2,...v = inf{ x , x ...} = inf xn n+ 1 n+ 2n+kk=1,2,...Dễ thấy unđơn điệu giảm và bị chặn dưới, nên tồn tại giới hạnlimu = inf u .n→∞nnnn