Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

229∂F ∂f ∂u ∂f ∂v= ⋅ + ⋅∂x ∂u ∂x ∂v ∂ x, (7.5.14)∂F ∂f ∂u ∂f ∂v= ⋅ + ⋅∂y ∂u ∂y ∂v ∂ y. (7.5.15)Các công thức (7.5.14) và (7.5.15) có thể viết dưới dạng ma trận:⎛∂u∂u⎞⎜x y⎟∂F ∂F ∂f ∂f∂ ∂( , ) = ( , ) ⎜ ⎟. (7.5.16)∂x ∂y ∂u ∂v⎜∂v∂v⎟⎜∂x∂y⎟⎝ ⎠⎛∂u∂u⎞⎜∂x∂y⎟Ma trận ⎜ ⎟ gọi là ma trận Jacôbi của biến u, v đối với x, y, còn định thức của ma⎜∂v∂v⎟⎜∂x∂y⎟⎝ ⎠Du,v ( )trận được gọi là định thức Jacôbi của u,v đối với x,y và được kí hiệu làDx,y ( ).Chú ý 5: Trong các tính toán người ta không phân biệt f và F. Nên ta có thể viết côngthức (7.5.14) và (7.5.15) dưới dạng:∂f ∂f ∂u ∂f ∂v= . + .∂x ∂u ∂x ∂v ∂ x, (7.5.14)’xy 2 2Ví dụ 4: Cho z=e sin( x + y ) , tính∂f ∂f ∂u ∂f ∂v= . + .∂y ∂u ∂y ∂v ∂ y. (7.5.15)’∂z∂xvà ∂z∂ y.Đặt u=xy, v= x2 + y2u, ta có z= e sin v. Khi đó:∂z ∂z ∂u ∂z ∂vuu= . + . = e sin v.y+e cosv. 2x∂x ∂u ∂x ∂v ∂xxy 2 2 2 2= e ⎡⎣ysin( x +y ) + 2xcos( x +y ) ⎤⎦∂z ∂z ∂u ∂z ∂v= . + . =∂y ∂u ∂y ∂v ∂yuue sin v.x+e cosv. 2yxy 2 2 2 2= e ⎡⎣xsin( x +y ) + 2ycos( x +y ) ⎤⎦ .Chú ý 6:a) Nếu z = f(x,y), y = y(x) thì z là hàm hợp của x, z=f(x,y(x)). Khi đó ta có:∂z ∂f ∂f= + . y' ( x). (7.5.17)∂x ∂x ∂y229