Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

20Khoảng mở (a−ε , a+ε ) có tâm tại điểm a được gọi là lân cận của điểm a. Như vậy, để alà giới hạn của dãy {x n } thì với lân cận bé bất kỳ của điểm a tất cả các phần tử x n của dãybắt đầu từ một chỉ số nào đó cần phải rơi vào trong lân cận đó (tức là ngoài lân cận đó chỉcó thể có một số hữu hạn các phần tử x n ).Hình 2.1.1kỳ.Ví dụ 1Nếu dãy (2.1.1) có giới hạn, ta nói rằng nó hội tụ, nếu không có giới hạn được gọi là phânHãy chứng minh dãy ⎧ n⎨⎫ ⎬ có giới hạn là 1.⎩n+ 1⎭Ví dụ 21Ta có: | x n− 1| = . Với mọi ε cho trướcn + 1Nếu ta lấypε⎡1 ⎤= ⎢ − 1 ⎥+1⎣ε⎦nDo đó lim = 1.n→∞n + 1Hãy chỉ ra rằng dãy:1< εn + 11 1⇔ n+ 1> ⇔ n > −1.ε ε(phần nguyên của ( 1 1ε − )) thì ∀ n > p εta có: |x n − 1|< ε .n{( −1) } : −1,1, −1,...,(2.1.8)không có giới hạn.Giả sử rằng dãy có giới hạn là a. Khi đó với ε =1, tồn tại số p sao cho với n>p ta có |x n –a|< ε =1.Ta hãy chọn n lớn hơn p, khi đó n+1>p, cho nên|x n+1 – a|p|x n – x n+1 |= |(x n − a)+ ( a −x n+1 )| ≤ | x n − a|+| x n+1 − a| n < 1+1 = 2điều này mâu thuẫn với tính chất của các số hạng của dãy (2.1.8) là: | x n – x n+1 |= 2 ∀n ∈ * .