Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

76Chú ý rằng định lí không còn đúng nếu hàm f(x) chỉ liên tục đều trên khoảng (a,b).Ví dụ 3: Hàm1y = liên tục trên khoảng (0,1) nhưng không liên tục đều trên khoảng này.x1 1Thật vậy, ∃ ε0= 1, ∃ xn= , x′n= .n 2n1Khi đó | xn− x′n| = → 0, nhưng2n| f( x ) − f( x′)| = | n− 2 n| = n≥ 1= ε .3.4.3 Liên tục của các hàm số sơ cấpnnTừ định lí về các phép tính của các hàm liên tục và định lí về tính liên tục của hàm hợp tacó định lí sau:Định lí 3.4.2 Các hàm sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của nó.Chú ý:Ta chú ý rằng nếu f(x) liên tục tại điểm x 0 , thìlim f ( x) = f( x ) = f(lim x ).0x→x0 x→x0Như vậy, nếu hàm f(x) liên tục thì có thể thay đổi thứ tự việc lấy giới hạn và việc tính giátrị của hàm.Sau đây dựa vào tính liên tục của những hàm sơ cấp, chúng ta sẽ đưa ra hàng loạt giớihạn quan trọng:loga(1 + α )a) lim = loga α →0αe . (3.4.5)Giới hạn có dạng 0 10 . Ta có loga(1 + α)α= loga(1 + α).αVì biểu thức nằm bên phải dưới dấu lôgarit tiến đến e khiα → 0 , nên theo tính liên tục,lôgarit của nó tiến đến log a e. Công thức được chứng minh, nói riêng khi a = e ta có công thứcln( 1+α )lim = 1(3.4.6)α →0ααa − 1b) lim = ln a(3.4.7)α →0αGiới hạn này có dạng 0 0 .αTa đặt a − 1 =β , khi đó theo tính liên tục của hàm số mũ khi α → 0 thì β → 0 . Ngoài rachúng ta có α = log (1 + β ), như vậy làaαa − 1 β 1lim = lim = = ln a .α log (1 + β) log eα→0 β→0aa76