Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

218Gọi D2={y∈ R |giới hạn lim f ( x,y)giới hạn:x→x 0lim g( y ) = lim ⎡lim f( x,y)⎤y→y0 y→y0⎢⎣x→x0⎥⎦Hoàn toàn tương tự, ta có thể xét giới hạn:tồn tại}. Giả sử y0là điểm tụ của D2. Ta xét tiếp(7.3.3)lim ⎡ lim f ( x,y)⎤x→x0⎢⎣ y→y0⎥⎦ . (7.3.4)Ta gọi các giới hạn (7.3.3) và (7.3.4) nếu chúng tồn tại là giới hạn lặp của hàm f tạix ,y .( ) 0 0sin x(cosy+1)Ví dụ 3: Xét hàm số z=f ( x,y ) =.2 21+ x + yTìm lim lim f ( x,y)và lim lim f ( x,y).y→0 x→0x→0 y→0∀ y ≠ 0 ta cólim f( x,y) = 0 , suy rax→0lim lim f ( x,y)=0.y→0 x→0sinx(cosy+1) 2sinxMặt khác ∀ x ≠ 0, lim f(x,y)= lim = suy ra:y→0 y→01 x2 y2 1+x2+ +2sinxlim lim f ( x,y)= lim = 0 .x→0 y→0x→021+xTa thấy trong trường hợp này hai giới hạn lặp tồn tại và bằng nhau.Ví dụ 4: Tìm giới hạn lặp của hàm số:x+ycosyf( x,y ) = tại (x,y)=(0,0).2x+y∀ x ≠ 0, ta cóx+ycosy1= ,lim f( x,y ) = limy→0 y→02 x+y 2suy ralim lim f ( x,y)= 1 2 .x→0 y→0Mặt khác, ∀ y ≠ 0 ta cólim f ( x,y ) = cosy, suy ra:x→0lim lim f ( x,y ) = lim cos y = 1.y→0 x→0 y→0Trong trường hợp này, các giới hạn lặp tồn tại nhưng không bằng nhau.7.3.3 Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp218