Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

289Để chúng minh Lm( x ) thỏa mãn (1), ta hãy chứng minh u(x) thỏa mãn phương trình (2).Thật vậyhayu′ = mx e − x exxm−1−x m −xuxm−x m −xu′ = m e − x e = m − uhay xu′ = ( m− x)u(3)Sử dụng công thức Leibnitz, đạo hàm cấp (m + 1) hai vế của (3) , suy ra hàm u(x) thỏamãn phương trình (2).4.32. Ta chứng minh công thức4.33.nnd⎛ 1 ⎞( x′′ ln x)= n! ln xndx⎜ + ∑k = 1 k⎟ với x > 0(1)⎝ ⎠a, Với n = 1 ta cód( n ln x ) = ln x + 1⇒Công thức (1) đúngdxb, Giả sử công thức (1) đúng với (n −1)n−1 n−1d n−1⎛ 1 ⎞1 ( x ln x)= ( n− 1)! ln xn−dx⎜ + ∑k = 1 k⎟(2)⎝ ⎠Khi đóddxnd= =ndxnn−1( x ln x) ( xx ln x)n−n( ) ′n−n ( )0 (0) 1( )1 1( n−1)n( ) ln ( ) ln= C x x x + C x x xn−11 1⎛= xn ( − 1)! + nn ( − 1)! lnx+x⎜⎝∑k = 1⎞k⎟⎠n−1 n−1⎛ 1⎞ ⎛ 1 1⎞= ( n− 1)! + n! ⎜ln x+ ∑ = n! lnx+ +k⎟ ⎜ ∑k n⎟n−1⎛ 1 ⎞= n!ln⎜ x+∑k = 1 k⎟.⎝ ⎠⎝ k= 1 ⎠ ⎝ k=1 ⎠2 2 2 2 3 2 422 2 (2 ) (2 ) (2 )1x − x x − x x − x x −e xx−x = + + + +1! 2! 3! 4!Suy ra2 5(2 x−x )+ + ...5!289