Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

46Dễ dàng thấy rằng−x→0⎧− 1 khi x < 0⎪sgn x = ⎨0 khi x = 0⎪⎩1 khi x > 0.limsgn x =−1và limsgn x = 1. Giới hạn+x→0bởi vì tại điểm 0 giới hạn trái không bằng giới hạn phải.Ví dụ 6: Xét hàm số:limsgn x không tồn tại,x→0⎧1 nÕu x lμà h÷u tûfx ( ) = ⎨⎩−1 nÕu x lμ v« tûTa khẳng định rằng hàm f(x) không có giới hạn tại bất cứ điểm nào. Thật vậy, ta giả sửrằng tại điểm c nào đó, hàm f(x) có giới hạn hữu hạn L về bên phải. Theo định nghĩa, vớiε = 1 có thể tìm được δ > 0 sao cho ∀x∈ (, c c+ δ ) thì |f(x)-L| 0 cho trước, ∃ K > 0 sao cho ∀x ∈ Ax , > K, ta có f( x)− L < εvà kí hiệu là lim f( x)= L .x→+∞Nếu ∀ M > 0 lớn tuỳ ý, tồn tại một số K > 0 sao cho ∀x ∈ Ax , > K ta có f(x) > M thì ta nóirằng f có giới hạn là +∞ khi x →+∞ và kí hiệu là lim f( x ) = +∞ .Nếu ∀ M > 0 lớn tuỳ ý, tồn tại một số K > 0 sao cho ∀x ∈ Ax , > K ta có f(x) < – M thì ta nóirằng f có giới hạn là − ∞ khi x →+∞ và kí hiệu là lim f( x ) = −∞ .x→+∞x→+∞Định nghĩa 4 Cho tập A có điểm tụ là −∞, f : A → . Ta nói rằng f(x) có giới hạn hữu hạn làL khi x →−∞ nếu ∀ ε > 0 cho trước, ∃ K > 0 sao cho ∀x ∈ Ax , < − K, ta có | f( x) − L|< εvà kí hiệu là lim f( x)= L .x→−∞Nếu ∀ M > 0 lớn tuỳ ý, tồn tại một số K > 0 sao cho ∀x ∈ Ax , < −K ta có f(x) > M thìlim f( x ) =+∞.x→−∞Nếu ∀ M > 0 lớn tuỳ ý cho trước, bao giờ cũng tồn tại một số K > 0 sao cho∀x ∈ Ax , < −K ta có f(x) < − M thì lim f( x ) = −∞ .x→−∞