Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

2823.21. Xét hàm số f ( x)sinx= trên (0,1). Ta hãy xét hàm số phụ:x⎧1 khi x = 0⎪sinxf1( x) = ⎨ khi 0 < x < 1⎪⎪⎩ xsin l khi x = 1.sin x= liênHàm f1( x ) liên tục trên [0,1] nên nó liên tục đều trên (0,1). Suy ra hàm số f ( x)xtục trên (0,1). Tương tự, hàm số f ( x ) liên tục trên (−1,0). Tuy nhiên với bất kì x' n→ 0 ( x' n< 0)và x" n→ 0 ( x" n> 0)nhưng f ( x′ n) − f ( x′′n) → 2 , nên hàm số f ( )( −1, 0) ∪ ( 0,1).3.22. 1) Giả sử x0là một số tùy ý { x n } là dãy số hữu tỷ còn { n }đến x ,{ x } → x ,{ x′} → x . Vì lim f ( x ) = 1 còn lim f ( x ) 00 n 0 n 0n→∞Vậy hàm số gián đoạn tại mọi giá trị x.nn→∞x không liên tục đều trênx′ là dãy số vô tỷ cùng hội tụ′n= , nên x0là điểm gián đoạn.′ → .2) a) Nếu x0#0 tùy ý và dãy hữu tỷ { xn} → x0và dãy vô tỷ { xn} x0Khi đó: lim f ( xn) = lim xn= x0và lim f ( xn) 0n→∞b) Nếu x0=0. Khi đón→∞Cho nên: f ( x) f ( )Chương 4x→0n→∞( ) ( ) ( )′ = . Suy ra x 0 là điểm gián đoạn.0≤ f x − f 0 = f x ≤ x ∀x∈ R.lim = 0 = 0 . Vì vậy x=0 là điểm liên tục duy nhất của hàm số.4.1. Do f ( x)≤ x nên lim f ( x) f ( 0)x→0= , hàm liên tục tại x = 0.Hơn nữa, khi x ≠ 0 ,hàm số là hàm sơ cấp nên liên tục.Δx1Δx1f ′( 0)lim 1 e+= + = lim = 0,+ + 1Δ→ x 0 ΔxΔ→ x 0Δx1+e1f ′−( 0) = lim .− 1Δ→ x 0Δx1+e4.2. Do f ( x)≤ x nên lim f ( x) f ( 0)x→0= , hàm liên tục tại x = 0282