Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

63Định lý 3.1.1 Điều kiện cần và đủ để hàm f liên tục tại điểm x0∈ A là nó liên tục theo cả haiphía tại x0.Chứng minh:Điều kiện cần là hiển nhiên.Ngược lại, nếu f liên tục theo cả hai phía tại x0, thì ∀ ε > 0 , ∃ δ1 > 0 sao cho∀x∈ A , 0 ≤ x− x0 < δ1ta có|f(x) − f(x 0 )|< εvà ∃ δ2 > 0 sao cho ∀x ∈ A , δ < x−x ≤ ta có2 00|f(x) −f(x 0 )|< ε .Khi đó gọi δ = min( δ1, δ2), thì ∀x∈ A,| x− x0| < δ ta cóVậy f liên tục tại x 0|f(x) −f(x 0 )|< ε .Định nghĩa 5 Cho hàm f xác định trên khoảng (a,b). Ta nói rằng hàm f liên tục trên khoảng(a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.Bây giờ cho hàm f xác định trên đoạn [a,b]. Nếu hàm f liên tục trên (a,b), liên tục bênphải tại điểm a và liên tục bên trái tại điểm b, thì ta nói rằng hàm f liên tục trên [a,b].Ví dụ 5: Xét hàm sốcó:⎧1 ví i 0 ≤ x ≤2⎪f( x) = ⎨−1 víi 2< x≤3⎪⎩0 ví i c¸ c gi ¸ t r Þxcßn l¹ i.Ta thấy hàm số không liên tục tại các điểm x = 0, x = 2, x = 3 vì chẳng hạn tại x = 2, taVí dụ 6: Hàm sốf( x)lim f( x) = 1, lim f( x) =− 1.− +x→2 x→21= không liên tục tại điểm x = a vì tại a hàm số không xác định.x − a3.1.3 Các định lý về những phép tính trên các hàm liên tụca) Tính liên tục của tổng hiệu tích và thương của hàm liên tụcTừ các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số mà mỗi hàm đềucó giới hạn ta có thể chứng minh định lý sau.Định lý 3.1.2 Nếu hai hàm số f và g xác định trên cùng một tập A ⊂ R và cả hai đều liên tụctại điểm x0∈ A thì tại điểm đó các hàm c.f trong đó c là hằng số; f ± g; f.g và f g (vớigx (0) ≠ 0) cũng liên tục.n n−1Ví dụ 7: Hàm đa thức y = ax0+ ax1+ ... + an−1x+ anliên tục trên toàn tập và phân thứchữu tỉ63