Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

42Cho một điểm x0∈ . Một tập hợp con U ∈ đựơc gọi là lân cận của điểm x0nếu cómột số ε > 0 sao cho ( x0 − ε, x0+ ε ) ⊂U.Từ định nghĩa, ta suy ra:i) Nếu U là lân cận của x0thì mọi tậpV ⊃ U cũng là lân cận của điểm x0.ii) Nếu U 1 , U 2 là lân cận của điểm x0thì U1 ∩U 2là lân cận của điểm x0.iii) Khoảng là lân cận của mọi điểm của nó. Ta thường gọi khoảng ( x0 − ε, x0+ ε ) là εlân cận của x0và kí hiệu là 0(εx0).b) Điểm tụTa xét tập hợp A ⊂ . Điểm a được gọi là điểm tụ (điểm giới hạn) của tập A nếu lân cậnbất kỳ ( a− δ, a+δ ) của điểm a đều chứa ít nhất một điểm của A mà điểm đó khác a.Điểm tụ của tập A có thể thuộc A hoặc có thể không thuộc A, ví dụ nếu A=[a,b] hoặcA=(a,b], điểm a, trong cả hai trường hợp, là điểm tụ của A, nhưng trong trường hợp đầu nóthuộc A, còn trong trường hợp thứ hai thì không.Nếu A = (0,1), thì mọi điểm a ∈(0,1)đều là điểm tụ của A, ngoài ra các điểma = 0, a = 1 tuy không thuộc A nhưng vẫn là điểm tụ của A.0 1Một dãy điểm {x n } được gọi là dãy phân biệt nếu như mọi cặp phần tử bất kỳ của dãy đềukhác nhau, tức là xm≠ xnnếu m ≠ n.Ta thấy rằng nếu a là điểm tụ của A thì có thể trích ra từ A, theo vô số cách, một dãy điểmphân biệt x1, x2, x3, x4,....các phần tử của A khác a hội tụ đến a. Thật vậy, bằng cách chọnmột dãy các số dương δn→ 0 , rồi trong mỗi lân cận ( a− δn, a+δn)của điểm a (với n =1,2,3,…) ta chọn một điểm x = x n thuộc A khác a. Khi đó vì δn→ 0 và |x n − a|< δ nnênx → a .nc) Chú ýNếu có một dãy điểm phân biệt {x n } ⊂ A và lim xn= +∞ (hoặc lim xn=−∞) thì ta cũngn→∞n→∞nói rằng ±∞ là điểm tụ của tập hợp A.d) Tập đóng tập mởTập hợp A ⊂ gọi là tập mở nếu nó là lân cận của mọi điểm của nó. Nếu phần bùC ( ) RB của tập hợp B là tập mở thì ta nói rằng B là tập đóng trong .Ví dụ (0,1) là tập mở, [0,1] là tập đóng.2.4.2 Các định nghĩa giới hạna) Định nghĩa 1 Giả sử hàm f(x) xác định trên tập A ⊂ và a là một điểm tụ của A. Ta nóirằng f(x) có giới L (hữu hạn) khi x dần đến a và viết là lim f( x)= L , nếu với mọi dãy{x n } ⊂ A mà xnhạn L.x→a→ a thì dãy các giá trị tương ứng của hàm số {y n }={f(x n )} đều dần đến giới