Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

146Ta nhận thấy nếu số đoạn chia càng nhiều sao cho độ lớn của các đọan chia càng nhỏ thìntổng ∑ f ( ξi)Δxicàng gần giá trị đúng S.i=1Từ đó ta có thể nói rằng khi chuyển giới hạn n→ ∞ sao chogiới hạn của tổngni=1Δxi→ 0 (i = 1, n ) thì giá trị∑ f ( ξi)Δxichính là diện tích cần tìm S của hình thang cong đã cho:S=6.1.2 Bài toán tính khối lượngnlim ∑ ( ξi)ΔimaxΔxi→ 0i = 1f x . (6.1.1)Cho một đoạn thẳng vật chất [0,S] và giả thiết là ta biết tỉ khối δ ở tại mỗi điểm của đoạnấy. Hãy tính khối lượng của cả đoạn thẳng. Nếu tỉ khối δ không đổi trong cả đoạn thẳng, thìkhối lượng m sẽ bằng tích của tỉ khối với độ dài đoạn thẳng, tức là m = δ .S. Trong trườnghợp tổng quát δ là một hàm liên tục của độ dài s:δ = δ ( s), với s ∈[0,S].Việc tìm khối lượng của đoạn sẽ tiến hành như sau:Ta hãy chia đoạn thẳng ra làm n phần bởi các điểm chia:s0=0, s1, s2,..., si− 1, si,..., sn− 1, sn= S.và giả thiết rằng trên một đoạn nhỏ [ si− 1, si] vật chất được phân phối đều, tức là tỉ khối khôngđổi trên mỗi đoạn nhỏ và bằng tỉ khối tại mút trái δ = δ ( si−1). Khi đó, khối lượng tương ứngcủa cả đoạn [0,S] sẽ bằng:haym = δ( s )( s − s ) + δ( s )( s − s ) + ... + δ( s− )( s − s−) + ... +n 0 1 0 1 2 1 i 1 i i 1+ ( s )( s − s ),δn−1 n n−1n−1mn= ∑ δ ( si)Δsi, trong đó: Δ si= s i+1- s i(i=1, n ).Khi n tăng vô hạn sao cho max Δs i→ 0 , thì độ dài của các đoạn chia dẫn đến không vàkhối lượng phân phối “đều từng khúc” sẽ dẫn đến khối lượng phải tìm:m =n 1i=0−lim ∑δ(i)Δi+1−Si→ =max( S ) 0i 0s s . (6.1.2)Như vậy từ việc tính diện tích, khối lượng ta đi đến một cách tự nhiên việc khảo sát giớihạn của các tổng có dạng (6.1.1) hay (6.1.2).6.1.3 Định nghĩa tích phân xác địnhi146