Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

151Tính chất 3: Gọi S1,S 1 là tổng dưới, tổng trên ứng với phân điểm T1và S2,S 2 là tổng dưới,tổng trên ứng với phân điểm T2. Khi đó: S1≤ S2.Chứng minh:Gọi T phân điểm thứ ba có được bằng cách hợp tập các điểm chia của phân điểmT 1vàcủa phân điểmT 2. Gọi S , S lần lượt là tổng trên tổng dưới của phân điểm T. Khi đó:Suy ra:S S S S1≤ ≤ ≤ 2 .S1≤ S2.Từ tính chất 2 và tính chất 3 suy ra rằng tập hợp các tổng tích phân dưới { S n } ứng với cácphân điểm T khác nhau của đoạn [a,b] là một tập hợp bị chặn trên, (ví dụ bởi tổng tích phântrên bất kì) nên có cận trên đúng hữu hạn:I = sup { S },I ≥ S . (6.2.7)* n *Tương tự tập hợp các tổng trên { S n}bị chặn dưới, nên nó có cận dưới đúng:I * = inf { Sn}, I * ≤SnI * ≥ I*Hiển nhiên ta có bất đẳng thức:n** n6.2.4 Dấu hiệu tồn tại của tích phân xác địnhnvµ (6.2.8)S ≤ I ≤ I ≤ S . (6.2.9)Định lý 6.2.4 Để hàm bị chặn f( x ) khả tích trên đoạn [a,b] điều kiện cần và đủ là:d = max Δ xk, lim ( Sn− Sn) = 0 . (6.2.10)Điều kiện (6.2.10) nghĩa là:∀ ε > 0, ∃ δ = δ( ε) > 0 , sao cho nếu d < δ thì:kd →0Sn− S < ε . (6.2.11)không phụ thuộc vào cách chọn các điểm ξk ∈ ⎡ ⎣ xk−1,xk⎤⎦ .Chứng minh:Điều kiện cần: Giả sử f( x ) khả tích trên [a,b], khi đó tồn tại giới hạn:tức làlimσ =nd →0nT x , ∀ξk ∈⎡⎣ xk 1,xk⎤⎦ , k = 1, nI { } ∀ =kε∀ , ∃ δ > 0 sao cho nếu d < δ thì2−151