Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

22được gọi là dãy con của dãy (2.1.1). Hiển nhiên dãy con của dãy (2.1.12) cũng là dãy con củadãy (2.1.1).Ta chú ý rằngkn≥ n ∀ n∈ * . (2.1.13)Thật vậy k 1 ≥ 1, cho nên k 2 >1 và do đó k 2 ≥ 2, bởi vì k 2 là số tự nhiên.Một cách tổng quát giả sử ta đã chứng minh được kn≥ n, ta nhận được kn+ 1> n và do đókn+ 1≥ n + 1 . Các ví dụ về dãy con là:x , x , x , x ,...,( k = 2, k = 4,..., k = 2 n )(2.1.14)2 4 6 8 1 2nx , x , x , x ,...( k = 1, k = 3,..., k = 2n −1)(2.1.15)1 3 5 7 1 2nx , x , x , x ,...( k = 1, k = 4,..., k = n 2 )(2.1.16)1 4 9 16 1 2nx , x , x , x , x , x , x ,...( x = p , p là số nguyên tố) (2.1.17)1 3 5 7 11 13 17n n nĐịnh lý 2.1.3 Mọi dãy con của một dãy hội tụ là một dãy hội tụ và có cùng giới hạn.Chứng minh:Giả sử dãy (2.1.1) có cùng giới hạn a và { xk} là một dãy con của dãy (2.1.1). Ta hãynchứng minh dãy { x } cũng có giới hạn là a. Đặt y n = x .k nGiả sử cho trước ε >0 vì lim x = a , nên tồn tại số p sao cho với n>p ta cón→∞n| x − a|< ε .Mặt khác với n>p thì k n >p (vì k n ≥ n) và do đónk n| y − a| = | x − a|< εn k nCho nên lim y = a, điều phải chứng minh.→∞nc) Các phép toán về giới hạnĐịnh lí 2.1.4 Cho hai dãy hội tụKhi đó:(ii)(iii)n→∞nlim( cx ) = ca;n→∞nn→∞lim x = a,lim y = b→∞n→∞(i)nn→∞nnlim( x + y ) = a+b (2.1.18)nnlim( c+ x ) = c+a với c là hằng số (2.1.19)nlim( x y ) = ab. (2.1.20)nn(iv)1lim( )n→∞y n= 1 b với yn≠ 0, b ≠ 0. (2.1.21)(v)xnalim( ) =n→∞y b với yn≠ 0, b ≠ 0. (2.1.22)n