Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

70Định lý không còn đúng đối với những khoảng không đóng, ví dụ hàm f(x) = 2x 2 ánh xạkhoảng [0,1) lên khoảng [0,2), do đó sup f( x ) = 2 nhưng hàm f(x) không nhận giá trị 2 trongkhoảng [0,1).ii) Nếu hàm f(x) khi biến thiên trên một khoảng X nào dó là bị chặn thì ta gọi dao độngcủa nó trong khoảng đó là hiệu ω = M − m giữa cận trên đúng và cận dưới đúng của nó. Nóicách khác ω = sup {| f( x′′ ) − f( x′)| }. Nếu xét hàm f(x) liên tục trên đoạn hữu hạn X=[a,b], thìx′ , x′′∈Xtheo định lý vừa chứng minh trên, dao động của hàm f(x) sẽ chỉ đơn giản là hiệu giữa giá trịlớn nhất và bé nhất của hàm trên đoạn đó.Định lý 3.2.4 (Định lý Bolzano - Cauchy thứ nhất)Giả sử hàm f(x) xác định và liên tục trên [a,b] và f(a).f(b) < 0. Khi đó tồn tại ít nhất mộtđiểm c∈(a,b) sao cho f(c)=0.Chứng minh:a+ bĐể xác định ta giả sử f(a)< 0 còn f(b)>0. Ta chia đôi đoạn [a,b] bởi điểm . Có thể2a+ bxảy ra là f(x) triệt tiêu tại điểm đó, khi đó định lý được chứng minh, ta có thể đặt c = . 2a+ ba+ bBây giờ giả sử f( ) ≠ 0, khi đó tại các đầu mút của một trong các đoạn [a, ],22a+ b[ ,b] hàm sẽ lấy các giá trị khác dấu nhau (cụ thể giá trị âm tại mút trái và giá trị dương2tại mút phải). Gọi đoạn đó là [a 1 ,b 1 ], ta có (xem hình 3.2.2) f(a 1 )< 0, f(b 1 )> 0aHình 3.2.2Bây giờ ta lại chia đôi đoạn [a 1 ,b 1 ]. Có thể xảy ra hai khả năng:a1 + b1Hoặc là f(x) triệt tiêu tại trung điểm2+ b, định lý được chứng minh.1 12của đoạn đó, khi đó ta có thể chọn điểm c =Hoặc là ta thu được đoạn [a 2 ,b 2 ] là một trong hai nửa của đoạn [a 1 ,b 1 ] sao cho f(a 2 ) < 0,f(b 2 ) > 0. (Xem hình 3.2.2)Ta tiếp tục quá trình lập các đoạn đó. Khi đó hoặc sau một số hữu hạn bước ta sẽ gặptrường hợp điểm chia là điểm tại đó hàm triệt tiêu và khi đó định lý được chứng minh.70