Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

83Chia cả 2 vế cho[ ο ]f( u0 +Δu) − f( u0) = f′ u( u0) g′x( x0) Δ x+ ( Δ x) +οΔ ( u)= f′ ( u ). g′ ( x ) Δ x+ f′( u ) ο( Δ x) +ο( Δu).Δ xu 0 x 0 u 0f( u +Δ 0u) − f( u0) ( x) ( u)= f′ u( u0). g′ x( x0) + f′u( u0) ο Δ +ο Δ .Δx Δx ΔxTa thấy do hàm u liên tục tại x 0 nên khi Δx→ 0 thì Δu→ 0 vàf( u0) = f( g( x0)) = fog( x0),f( u +Δ u) = f( u) = f( g( x)) = f g( x).Bây giờ ta hãy viết lại biểu thức trên dưới dạng:0fgx0( ) − fgx0(0) ( x) ( u)u= f′ u( u0). g′ x( x0) + f′u( u0) ο Δ +ο Δ . Δ .Δx Δx Δu ΔxCho Δx→ 0 ta được ( fg0)( ′ x0) = f′ u( gx (0)). g′( x0),và công thức được chứng minh.Ví dụ 3:i) Ta thấy a x = e xlna ∀ a>0lnnên ( x ) ( x alna ′ = e )′, đặt u = xlna, ( e u )' = e x a .ln a = a x ln aDo đó ta có công thức sauα αlnxii) Ta có x = e ∀ x > 0 và∀α∈α α lnln 1 1Do đó: ( ) ( x α xαx ′ = e )′= e . α. = x . α..x xVà ta có công thức sau:Ví dụ 4: TínhĐặt1cos x −dx+1I = e với x ≠− 1dx1cos x −u =x + 1ox x( a )′ = a lna với ∀ a > 0 . (4.2.6)αα−1′ = α x . (4.2.7)( x ) .ta cóLại đặtv =x −1x + 1x−1dcosu u x 1x+1⎛ − ⎞′I = e = e . u′x= e . cosdx⎜x + 1⎟⎝ ⎠x−1⎛x−1⎞′ x−1 2(cos v) ′ =− sin vv . ′ =− sin =−sin .x+ 1⎜x 1⎟⎝ + ⎠ x+ 1 ( x + 1 )Cuối cùng283