Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

47Ví dụ 7: Chứng minh rằng sin x không có giới hạn khi x →+∞.πThật vậy, chọn dãy số xn= (2n+ 1) . Rõ ràng rằng khi n →∞ thì xn→+∞2Khi đó dãy {sin x n } nhận các giá trị−1,1, −1,…(−1) n ,...Dãy số này phân kì, từ đó suy ra lim sin x không tồn tại. Tương tự lim cos x không tồnx→∞x→∞tại.2.4.5 Các tính chất của giới hạnTa có thể dễ dàng chuyển các kết quả đối với giới hạn của dãy sang trường hợp giới hạncủa hàm, cụ thể, ta có các định lý sau.Định lý 2.4.3 Nếu hàm f(x) có giới hạn tại a thì giới hạn đó là duy nhất.Định lý 2.4.4 Giả sử trên tập A cho hai hàm f(x), g(x) và a là điểm tụ của A (a có thể hữu hạnhoặc vô hạn). Ngoài ra giả sử cả hai hàm có giới hạn hữu hạnlim f( x) = L , lim g( x)= L1 2x→a x→af( x)gx ( )), cụ thể là:Khi đó các hàm cf(x) với c là hằng số f( x) ± g( x ), f( x). g( x ),hữu hạn (trong trường hợp thương có thêm giả thiết L2≠ 0i) limc f( x)=c L ;x→a1[ ][ ]ii) lim f( x)+ g( x) = L ± L ;x→a1 2iii) lim f( x). g( x) = L . L ;ivx→af( x)1 21) lim = (2≠ 0).x→agx ( ) L2LLcũng có giới hạnChú ý rằng định lý trên chưa có kết luận gì trong các trường hợp sau:Trong trường hợp ii), khi L 1 = +∞ và L 2 =− ∞ về mặt hình thức ta có dạng vô định ∞ − ∞ .Trong trường hợp iii), khi L 1 =0( ∞ ) và L 2 = ∞ (0) về mặt hình thức ta có dạng vô định0. ∞ .Cuối cùng trường hợp iv), khi L 1 =0( ∞ ) và L 2 =0( ∞ ), về mặt hình thức ta có dạng vô định00 hoặc ∞ ∞ .2.4.6 Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn của hàm sốSau đây ta phát biểu các định lý nói về sự tồn tại giới hạn của hàm số.Định lý 2.4.5 Cho A ⊂ R và x 0 là điểm tụ của tập A. Giả sử ba hàm số thoả mãn đẳng thức:f( x) ≤ g( x) ≤ h( x)∀x∈A