Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

2711 1 1 1 1< + + ...... + + ...... = . = 1n2 4 2 2 1 1 − 2suy ra2.11xn< e , do đó dãy hội tụ và có giới hạn hữu hạn.1⎛1 ⎞Trước hết ta thấy x0> 0 và xn+1= ⎜xn+ ⎟≥1∀n⇒2 ⎝ xn⎠x ≥ 1 nênndãy bị chặn dưới . Mặt khác , do1 1 1⎛1 ⎞xn ≥ ⇒2xn ≥ ⇒ xn ≥ ⎜ + xn⎟xn xn 2 ⎝ xn⎠Hay xn≥ xn + 1∀ n suy ra dãy đơn điệu giảm. Do đó dãy có giới hạn hữu hạn. Gọi1⎛1 ⎞lim x n= a , a ≥ 1. Qua giới hạn trong đẳng thức xn+1= ⎜xn+ ⎟ ta đượcn→∞2 ⎝ xn⎠2.122.131⎛1⎞= ⎜ + ⎟⇒ = 1⇒ = 1 ( a = –1 loại ).2 ⎝ a ⎠2a a a aDãy đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ. Suy ra lim x = limx= 1Ta thấy3 3x = 2+ x =−2 − , x > x2n−1 2n−12n−1 2n 2n−1 2nDãy { x − } đơn điệu giảm, còn dãy { }2n1Do đó limxn= lim x2n− 1= 2n→∞n→∞vớià lim xn= lim x2n=− 2 .n→∞n→∞2.14Theo giả thiết xn≥0, yn≥ 0.xn+ ynMặt khác yn+ 1= ≥ xyn n= xn+1,2{ }2n+ 1 n n n n nx đơn điệu tăng.x = xy ≥ x = x ⇒ x là dãy số tăng,xn + yn yn + ynyn+1= ≤ = yn ⇒ { yn}là dãy số giảm.2 2Tóm lại xn yn y0{ xn}{ }n n 0 n2nn→∞nn→∞≤ ≤ ⇒ tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn.y ≥ x ≥ x ⇒ y giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn hữu hạn.n271