Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

2853)2− tg x4.17. 1) Ta thấyTừ (1) và (2) suy raSuy ra1θ = .2( ) ( ) 2 ( ) 2f x+ Δx − f x = axΔ x+ a Δ x + bΔ x (1)( θ ) 2 2f ′ x+ Δ x = ax+ aθΔ x+ b(2)2( ) ( θ )2axΔ x + a Δ x + bΔ x =Δ x 2ax + 2a Δ x + b (3)x x x2) f ( x x) f ( x) e +Δ θ e+ Δ − = − (1)Từ (1) và (2) suy rax x x x xe +Δ − e =Δ xe + θΔ(3) chia hai vế choexx− 1 =Δ xe .θΔ hay eθΔxΔxe −1= Δ xx1 eΔ −1Từ đây suy ra: θ = ln .Δ x Δ xx+ Δx( θ )f′ x+ Δ x = e θ(2)xe ta được:4.18. Do hệ thức trong giả thiết của bài toán được nghiệm đúng ∀x,h∈ R, ta có thể lấy x = 0.f h − f 0 = hf′ 0Khi đó ta được ( ) ( ) ( )⇒ f ( h) = f′( 0. ) h+f ( 0)hay f ( x) = f′( 0. ) x+f ( 0)Đặt a = f′( 0, ) b= f ( 0), ta thu được: ( )4.19. Ta thấy lấy bất kỳ1, 2 ( 1,1)3 3f ( x ) − f ( x ) x − xtoán.f x = ax+ b.x x ∈ − với x1 ≠ x2ta có= = x + x x + x > 0 .2 1 2 1 2 21 1 2 2x2 −x1 x2 −x1Mặt khác f′ ( x) = 3 x 2 , f′( 0)= 0. Vậy không tồn tại , ( 1,1)x x ∈ − thỏa mãn yêu cầu bàif ( x)14.20. Xét hai hàm h ( x)= khả vi trên [ x , x ] và h ( x)= khả vi trên [ x , x ]xthấyxf ′( x) − f ( x)1h′ ( x)= , h′( x)=−xxTheo định lý Cauchy ta có11 2 221 21 22x1 2. Ta285