Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

148a∫ f ( xdx ) = 0. (6.1.7)aĐẳng thức (6.1.7) nghĩa là tích phân xác định với các cận bằng nhau bằng 0. Bởi vì tổngtích phân (6.1.3) không phụ thuộc vào chữ cái dùng để kí hiệu đối số của hàm đã cho, nêngiới hạn của nó, tức là tích phân xác định không phụ thuộc vào kí hiệu biến số tích phân:(6.1.8)Ví dụ 1: Cho f ( x ) = 1,∀x∈[a,b].b∫ f ( xdx ) = ∫ f () tdt= ∫ f ( zdz ) ,v.v...ababaVới mọi phân điểm T = { x k} của đoạn [a,b] và với mọi cách chọn ξk, ta có:Suy ra:σ= ∑ nn( ξk)Δkk = 1f x =d →0n∑ nk = 1limσ= b − a.1. Δx = b−akDo đó:b∫ dx = b− a.a6.1.4 Ý nghĩa hình học của tích phân xác địnhTheo định nghĩa tích phân xác định vừa nói trên, diện tích hình thang cong được tính theocông thức:bS = ∫ f ( xdx ) . (6.1.9)Bây giờ ta hãy đưa ra điều kiện cần và đủ để hàm khả tích.6.2 Điều kiện khả tích6.2.1 Điều kiện cần để hàm khả tíchaĐịnh lí 6.2.11 Nếu hàm f khả tích trên đoạn [a,b] thì nó bị chặn trên đoạn này.Chứng minh: Ta giả sử ngược lại rằng hàm f không bị chặn trên [a,b]. Bởi vì hàm fkhông bị chặn trên [a,b] nên với phân điểm T bất kì của đoạn [a,b], hàm f không bị chặn ítnhất trên một đoạn con nào đó. Để đơn giản cho việc chứng minh, ta giả sử nó không bị chặntrên [ x 0, x1]. Khi đó trong các đoạn còn lại [ x 1, x2], [ x 2, x3], …, [ xn− 1, xn] ta hãy chọn cácđiểm tùy ý ξ1, ξ2, …, ξ2và kí hiệu:σ ' = f ( ξ ) Δ x + f( ξ ) Δ x + ... + f( ξ ) Δ x . (6.2.1)2 2 3 3Do f không bị chặn trên đoạn [ 0x ,1x ], nên với mọi M>0, ta chọn được1ξ ∈[ 0x ,1x ] saocho:nn148