Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

226∂v∂ RT R= ( ) = ,∂T∂Tp p∂T∂ pvv= ( ) = .∂p∂pR RTích của ba đạo hàm riêng này là một hệ thức quan trọng trong nhiệt động lực học:∂ p ∂ ∂TRT R⋅ v ⋅ =− ⋅ ⋅v2∂v ∂T∂p v p RRT= − =− 1.pvNếu như các kí hiệu của các đạo hàm riêng là những phân số thì ta được 1 chứ khôngphải là −1.Nếu hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục trên tập U, ta nói rằng f(x,y) thuộc lớp1 1C ( U ) và kí hiệu f ( x, y) ∈C ( U ).7.5.1.2 Vi phân toàn phầnĐịnh nghĩa 2: Cho z = f(x,y) xác định trong D và M0( x0, y0)∈D. Nếu ta có thể biểu diễn sốgia toàn phần Δf dưới dạng:Δf = A. Δx+ B. Δy+ α. Δx+βΔy. (7.5.3)trong đó A, B là hằng số chỉ phụ thuộc x0,y0, còn α , β dần tới 0 khi M → M0, thì hàmf(x,y) khả vi tại điểm M0( x0, y0).A. Δx+B.Δ y(7.5.4)gọi là vi phân toàn phần của z = f(x,y) tại M0và được kí hiệu là dz hay df.Hàm số z = f(x,y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền D.2 2Đặt ρ= ( Δx ) + ( Δ y), ta có thể viết (7.5.3) dưới dạng:Δf =A. Δx+B. Δ y+o( ρ). (7.5.3)’trong đólim o( ρ)=0.S→0Chú ý 1: Nếu hàm số f(x,y) khả vi tại M0, thì từ (7.5.3) suy ra rằng: Δf→ 0 khiΔx→0, Δy→ 0 , tức là f(x,y) liên tục tại M0 . Vậy hàm số f(x,y) khả vi tại M0thì liên tục tạiM0.Chú ý 2: Đối với hàm một biến số y = f(x), nếu tại x = x0tồn tại đạo hàm hữu hạn f ′( x0),thì ta có:Δ y=f ( x +Δx) − f ( x ) = f ′( x ) Δx+ α. Δ x ,0 0 0trong đó α → 0 khi Δx→ 0 , tức là hàm khả vi tại x = x0.226