Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

191MHệ quả: a) nếu tồn tại các hằng số M > 0 và λ > 1 sao cho f( x)≤ ∀x≥ a> 0 thì∞tích phân ∫ f ( xdx ) hội tụ .∞aMb) Nếu tồn tại hằng số M > 0 và λ ≤ 1 sao cho f( x)≥ ∀x≥ a > 0 , thì tích phân∫ f ( xdx ) phân kì .adxVí dụ 6: a) Xét sự hội tụ của tích phân I1= ∫1 1+ x 1+x∞2 3x λx λGiải: Do21+ x > x , 3 31+ x > x nên1 1 1. với x > 2.33x −1 x∞Bởi vì∞dxdx∫ phân kì nên tích phân I2 =3x∫ cũng phân kì .312 x − 1∞Ví dụ 7: Xét sự hội tụ của tích phân Poisson∞2− x∫ e dx.0Giải: Đồ thị của hàm dưới dấu tích phân∞2y = e − x là đường cong Gauss, ta có:1∞2 2 2−x −x −x∫e dx= ∫e dx+∫ e dx.0 0 1Tích phân thứ nhất ở vế phải là tích phân xác định thông thường, nó bằng diện tích củađường cong Gauss trên đoạn [0,1]. Ta hãy xét tích phânkhi x >1 .Ta có:∞−x−x1e dx= lim e dx=e∫ ∫ .AA→+∞1 1∞∫1e2− x2−xdx. Hiển nhiên 0 < e < e−x191