Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

129axee sin bxdx = sin bxd aaxax= e bbx e bxdxa− a∫ (5.2.6)ax∫ ∫ sin cosThay (5.2.6) vào (2.2.5), sau một vài phép biến đổi đơn giản, ta đượcb) Tương tự5.2.4 Công thức truy hồiacosbx+bsinbxa + baxax∫ e cos bxdx = e + C(5.2.7)2 2asinbx−bcosbxa + baxax∫ e sin bxdx = e + C. (5.2.8)2 2a) Xét tích phân I = ∫ cos n xdx vớinn*∈ N .Ta có∫ ∫ ∫n n 1 1cos cos −n−= cos = cos sinTừ đây chúng ta nhận được công thức truy hồixdx x xdx xd xn−1 n−2 2= cos xsi n x+ ( n −1) cos xsinxdx∫∫= x x + n −1 xdx − n −1xdxn−1 n−2ncos si n ( ) cos ( ) cos .1 ( n −1)nnn n−1 n−2∫cos xdx = cos xsi n x + ∫ cos xdx . (5.2.9)Công thức này cho phép giảm số mũ của luỹ thừa của hàm dưới dấu tích phân mỗi lần 2đơn vị cho đến khi ta nhận được tích phân tuỳ theo n là lẻ hay chẵn:∫ ∫cos xdx = sin x + C hay dx = x + C.Tương tự ta nhận được công thức truy hồi1 n −1nndxb) Xét tích phân Jn= ∫ với n∈ N * 02 2 n( x + a ), a ≠n n−1 n−2∫sin xdx =− sin xcos x + ∫ sin xdx. (5.2.10)dx 1 xTa biết J = 1 ∫ 2 2 arctg Cx + a= a a+ .Để xây dựng công thức truy hồi cho tích phân J n , ta hãy xétdx2 2 − n+1Jn−1= ∫= ( x + a ) dx2 2 n−1( x + a )∫x2 2 −n= − x( − n + 1)( x + a ) 2xdx2 2 n−1 ( x + a )∫∫hay2xxJn−1= + 2( n −1)dx2 2 n−1 2 2 n( x + a )∫( x + a )129