Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

2491Với λ =− hệ có nghiệm x= 222 , y= 221a) Với λ = hàm Lagrange trở thành:2và x=−22 , y=− 22 .1 2 22 22 2F( x, y) = xy+ ( x + y −1), nó có hai điểm dừng: A1( , − ) và A2( − , ).22 22 2Mặt khác: F' = x+y, F' = x+y, F" = 1, F" = 1, F" = 1.Khi đó:x y 2 xy2xy2 1 2 2 2d F( A1, ) = dx +2dxdy+dy = ( dx+dy).22 2Mặt khác từ điều kiện x+y − 1 = 0 ta được:2xdx + 2ydy = 0.Tại A1đẳng thức trên trở thành2 2 2 2dx − dy = 0 ⇒ dx = dy . Từ đây2 22 12d F( A1, ) = 4dx.2Vậy hàm đạt cực tiểu có điều kiện tại A1và giá trị cực tiểu bằng z( A1)=− 1 2 .Tương tự hàm đạt cực tiểu có điều kiện tại A2và giá trị cực tiểu bằng z( A2)=− 1 2 .1b) Với λ =−2Hàm Lagrange1 2 22 2F( x,y ) =xy − ( x +y − 1) có hai điểm dừng A3( , ) và22 22 2A4( − , − ). Ta có:2 2′ = y-x, F ′ = x − y, F" =− 1, = 1, =− 1 .Khi đó:x y 2 xy2xy1d F A dx dxdy dy dx dy22 2 22(3, − ) =− + 2 − =−( − ) .2 2Mặt khác từ điều kiện x+y − 1 = 0 ta được2xdx + 2ydy = 0.Tại A3đẳng thức này trở thành2 2 2 2dx+ dy= 0 ⇒dx= − dy và2 22 12d F( A3, − ) =− 4dx.2249