Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

50Chú ý: Nếu không tồn tạif ( x)thì ta nói rằng là hai vô cùng bé không so sánh1limx→x0f2( x )1được với nhau, ví dụ như hai VCB f 1( x) = xsin , f 2( x)= x khi x → x0không so sánhxđược với nhau.Để thuận tiện khi khử các dạng vô định người ta thường sử dụng các tính chất sau.Định lý 2.4.8 Nếu trong quá trình x → x0ta có f ∼ f và g ∼ g thìf( x) f( x)i) lim = limx→x0 gx ( ) x→x0gx ( )ii) lim f( x) g( x) = lim f( x) g( x ).Chứng minh:x→x0 x→x0f( x) f( x) f( x) g( x) f( x)Thật vậy lim = lim = limx→x0 gx ( ) x→x0 f( x) gx ( ) gx ( ) x→x0gx ( )Ví dụ 11: Tìm2 2sin ax . + x ax+x a1) lim = lim = ,x→x0 tgbx x→x0bx b2 23x+ sin x 3x+x 3= =x→03 3sin 2x−x x→x0sin 2x−x 22) lim lim3) limx→0Dễ thấy:(1 + αx)(1 + βx) −1tgγx1+ x ∼1 + αβα . x, 1+ βx ∼1 + . x,tg γx ∼γx nªn2 2lim⎛ α ⎞⎛ β ⎞⎜1+ x⎟⎜1+ x⎟−1(1 + αx)(1 + βx) − 1 ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ α + β= lim=tg γ xγ. x2γx→0 x→01 22( x+x )1 x x 1 1+ + −4) lim = lim 2 = .x→0 sin 2xx→02x4Trong khi xét nhiều đại lượng VCB, người ta chọn một trong các đại lượng đó làm cơ sởvà so sánh các VCB khác với các luỹ thừa của đại lượng cơ sở đó. Ta quy ước rằng VCB f khix → 0 là VCB cấp k (đối với VCB cơ sở x khi x → 0 nếu f và x k (k>0)) là các vô cùng bécùng bậc.Chẳng hạn VCB 1- cosx là VCB cấp hai đối với VCB x khi x → 0 và VCB tgx – sinx làVCB cấp ba đối với VCB x khi x → 0 bởi vì