Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

23Chứng minh:(i) Vì x → ay , → bnếu với ε >0 ta tìm được p 1 và p 2 sao cho: khi n>p 1 thì |x n –nna|< 2ε , khi n>p2 thì|y n −b|< 2ε . Gọi p = max(p1 , p 2 ) thì khi n>p ta có:Từ đây suy ra điều phải chứng minh.(ii) Chứng minh tương tự như trên(iii) Ta có đẳng thức:|( x + y ) − ( a+ b)| ≤ | x − a| + | y − b|< ε .n n n nx y − ab= ( x −a)( y − b) + a( y − b) + b( x −a ).n n n n n nVì x → ay , →b, nên với ε > 0 cho trước, tìm được p 1 , p 2nnsao cho:khi n>p 1 thì |x n − a|< ε , khi n>p 2 thì |y n −b|< ε .Gọi p =max(p 1 ,p 2 ) thì khi n>p ta có:| xy − ab| < ε + | a| . ε+| b| . ε,từ đó lim( xy − ab ) = 0.nnn→∞nn(iv) Doyn→ b, nên ta có thể chọn m sao cho khi n>m thì | −n||y n | −|b|| ≤ | yn− b |< 1 | |2 b ,y b |< 1 | b | . Ngoài ra do2suy ra − 1 | |2 b m thì|y n | > 1 | |2 b . (2.1.23)cóMặt khác, cũng doy n→ b nên với ε >0 cho trước tìm được p >m sao cho khi n > p taDo vậy khi n>p ta có:| yn−1b|< | |22 b ε (2.1.24)1 1 yn− b 2− = p thì x < y .n→∞nn→∞nnn