Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

178= lim1λ∑ n l Mi−Mitrong đó λ = Mi−1Mi→ 01≤≤i ni = 1max ,với Δ x = x −x , Δ y = f ( x ) − f ( x )i i i−1 i i i−1Theo công thức Lagrange:( ) ( )M− 1M = ( Δ x ) + ( Δy)2 2i i i iΔ y ( ′) ′i= f xi − f xi−1= f ξi Δx i, với x ≤ −1 ξ ≤i ixiSuy ra:M M = + f ( ) 2Δx và lim 1 ( ξ ) 211 ′i− iξi iTheo định nghĩa tích phân xác định:∑ n ′i iλ→ 0i = 1l = + f Δx .b2l = ∫ 1 + f′( x)dx. (6.7.9)ab) Nếu đường cong cho dưới dạng tham số x = xt (), y=yt () với t ∈[ α, β ] .Thay dx = x′() t dt , dy = y′() t dt ,dy y′() tf′ ( x)= = vào (6.7.8), ta có công thức:dx x ′ () tβ2 2l x′ () t y′() t dt . (6.7.10)∫= +αNếu đường cong cho trong toa độ cực r = r ( ϕ)trong đó hàm r ( ϕ)và đạo hàm của nór ′( ϕ)liên tục trên [ α, β ].Sử dụng công thức chuyển từ tọa độ cực sang tọa độDescartes x= r( ϕ) cos ϕ, y = r ( ϕ)sinϕ. Theo công thức (6.7.9)Từ đây:β∫α[ ′( ) os ( )sin ] [ ′( ) os ( )sin ]2 2l = r ϕ c ϕ− r ϕ ϕ + r ϕ c ϕ+r ϕ ϕ d ϕ,β∫α[ ( )] [ ′( )]2 2l = r ϕ + r ϕ d ϕ. (6.7.11)Ví dụ 7: Tính độ dài đường cong cycloide có phương trình⎧x = at ( −sin t)⎨ với 0≤ t ≤ 2π (xem hình 6.7.12)⎩y = a(1 − cost)Theo công thức (6.7.9)178