Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

230b) Nếu z = f(x,y), x = x(t), y = y(t) thì z là hàm số hợp của t thông qua hai biến trung gianx,y. Khi đó ta có:dz ∂ f ∂f= x' () t + . y't (). (7.5.18)dt ∂x ∂y∂zVí dụ 5: Cho z= cos( t+ τ )sin( t − τ ) , tính∂tvà ∂z∂ τ.Đặt x= cos( t+τ ) , y=sin( t − τ ) , khi đó z=xy. Ta có:∂z ∂z ∂x ∂z ∂y= +∂t ∂x ∂t ∂y ∂tTương tự:=− ysin( t+ τ ) +xcos( t-τ)= −sin( t+ τ )sin(t −τ) + cos( t+ τ)cos( t− τ)=cos2t .∂ z =− ysin( t+ τ ) − xcos( t − τ) = − cos2τ.∂τChú ý 7: (Vi phân của hàm hợp) Cho z = f(u,v) có các đạo hàm riêng liên tục. Giả sử u =u(x,y), v = v(x,y), khi đó z=f[u(x,y),v(x,y)] là hàm của x,y. Nếu giả thiết rằng u,v có các đạo∂f∂fhàm riêng liên tục, thì từ (7.5.14)’ và (7.5.15)’ suy ra rằng , liên tục. Do đó nếu xem z∂x∂ylà hàm của x,y thì z là khả vi. Ta có∂f∂fBây giờ thay ,∂x∂y∂f∂fdz= dx + dy . (7.5.19)∂x∂ytheo công thức (7.5.14)’ và (7.5.15)’ vào (7.5.19) ta được;⎛∂f ∂u ∂f ∂v⎞⎛∂f ∂u ∂f∂v⎞dz= ⎜ . + . ⎟dx + ⎜ . + . ⎟dy⎝∂u ∂x ∂v ∂x⎠ ⎝∂u ∂y ∂v ∂y⎠∂f ⎛∂u ∂u ⎞ ∂f ⎛∂v ∂v⎞= ⎜ dx + dy ⎟ + ⎜ dx+ dy ⎟∂u⎝∂x ∂y ⎠ ∂v⎝∂x ∂y⎠ .Theo công thức vi phân của các hàm u,v, ta có thể viết:∂f∂fdz= du + dv . (7.5.20)∂u∂vVậy vi phân toàn phần của hàm số z = f(u,v) có cùng một dạng cho dù u, v là các biến độclập hay u, v là các hàm của các biến số độc lập khác. Do đó vi phân toàn phần của hàm nhiềubiến số cũng có dạng bất biến như vi phân của hàm một biến số. Do đó các công thức⎛u ⎞ vdu − udvd(u ± v)=du ± dv, d ( uv)= udv + vdu , d ⎜ ⎟ = cũng đúng khi u, v là các hàm sốv v2⎝ ⎠của các biến số khác.7.5.2 Đạo hàm và vi phân cấp cao230