Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

48Khi đó nếu lim f( x) = lim h( x)= L thì lim gx ( ) = L.x→x0 x→x0Định lý 2.4.6 (Tiêu chuẩn Cauchy)x→x0Hàm số f có giới hạn tại x 0 khi và chỉ khi ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 sao cho ∀ x′ vàx′′ ∈ A, 0 < | x′ − x | < δ , 0 < | x′′− x | < δ ta có0 0| f( x′ ) − f( x′′)| < ε .Định lý 2.4.7 (Tiêu chuẩn giới hạn của hàm đơn điệu)i) Giả sử hàm f(x) là hàm tăng trên [ x,x ) , khi đó nếu f bị chặn trên trên [ x,x )có giới hạn trái tại x 0 .ii) Nếu f(x) là hàm giảm trên [ x,x ) , khi đó nếu f bị chặn dưới trên [ , )hạn trái tại x 0 .Chứng minh:Giả sử f(x) là hàm tăng trên [ , )Gọi L = sup f .⎡⎣xx , 0 )Khi đó ∀ > 0, ∃ ∈[ , )ε1 000x x .000thì hàm fx x thì f có giớix xx sao cho L − ε < f( x1) ≤ L . Do hàm tăng nếu ∀x∈ ( x1, x0)ta có L − ε < f( x1) ≤ f( x)≤ L . Chọn δ sao cho x1 = x0− δ .Khi đó ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 sao cho ∀x ∈( x0 − δ , x0)thìL − ε < f( x) < L + ε ⇒ | f( x) − L|< εvà do đólim f( x)= L .−x→x02.4.7 Vô cùng bé. Vô cùng lớna) Khái niệm:Cho A ⊂ R, x 0 là điểm tụ của A, f : A → (x 0 có thể là hữu hạn hay vô hạn). Ta nóirằng f là một vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi x → x0, nếu lim f ( x ) = 0.x→x Ta nói f là một vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi x → x0nếudàng kiểm tra các tính chất sau.Tính chất 10lim| f( x )| =+∞. Ta có thể dễNếu f, g là những VCB khi x → x0, thì f ± g,fg cũng là những VCB khi x → x0Tính chất 2Nếu f, g là những VCL khi x → x0, thì fg cũng là VCL khi x → x0Tính chất 3x→x0