Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

236có thể xác định hàm số ẩn.F(x,y,z)=0 (7.6.6)a) Sự tồn tại của hàm số ẩnĐịnh lí 7.6.2: Cho hệ thức F(x,y,z)=0 và điểm M0( x,y,z0 0 0)với F( x0,y 0,z 0) = 0. Nếu hàm sốF(x,y,z) có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận điểm M0( x0, y0, z0)và nếu F'z( M0) ≠ 0,thì từ hệ thức (7.6.6) ta xác định được một hàm số ẩn z = f(x,y) trong lân cận nào đó của điểm( x0,y 0)thoả mãn z0 = f( x0,y0). Hơn nữa hàm số đó liên tục và có các đạo hàm riêng liên tụctrong lân cận nói trên.b) Đạo hàm của hàm số ẩn hai biến sốVới các giả thiết của định lí 7.6.2, từ (7.6.6) ta có thể xác định được hàm z=f(x,y). Do đóta có thể viết:F(x,y,z)=0 với z=f(x,y). (7.6.7)Lấy đạo hàm hai vế (7.6.7) lần lượt đối với x, y ta được:F' + F' . z' = 0, F' + F' . z' = 0.x z xy z yTheo giả thiêt F'z≠ 0 , từ đây suy ra:F' F'xyz' =− x, z'yF'=− F'. (7.6.8)z 3 3 3Ví dụ 5 Cho F( x,y,z ) =e +x +y +z −3xy − 1=0 .2 2 z 2Ta thấy F' = 3x − 3y,F' = 3y − 3x,F' = e + 3z ≠0,∀ z .x y zzDo F'z≠ 0 , ∀ z , nên hệ thức trên xác định một hàm số ẩn z = f(x,y) liên tục và có các đạohàm riêng liên tục, ngoài ra:c) Mặt phẳng tiếp xúcz'x2 23x − 3y 3y − 3x=− , z'z 2 y=− .z 2e + 3z e + 3zGọi S là đồ thị hàm số ẩn z = f(x,y) mà ta vừa trình bày. Phương trình của mặt phẳng tiếpxúc với S tại điểm M0( x0, y0, z0)là:zhay dưới dạng đối xứng hơn:−F' ( )( )xx0,y 0,z−F' yx0,y 00,z0z− z0 = ( x− x0). + ( y− y0),F' ( x ,y ,z ) F' ( x ,y ,z )z 0 0 0 z 0 0 0( x −x ) F' ( x ,y ,z ) + ( y − y ) F' ( x ,y ,z )0 x 0 0 0 0 y 0 0 0+( z−z ) F' ( x ,y ,z ) = 0.0 z 0 0 0Chẳng hạn, mặt phẳng tiếp xúc với elipxoit(7.6.9)236