Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

248Dễ thấy hàm này đạt cực đại khilx =4, từ đâyly = .4Vậy trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông là hình có diện tích lớn nhất.Phương pháp nhân tử LagrangeHàm Lagrange: F = xy+ λ(2x+ 2 y− l).Hệ phương trình:l l lcó nghiệm λ =− , x = , y = .8 4 4Ta thấy F " 2 = 0, F " = 1, F" 2 = 0,xxyy⎧ F' x= y+ 2λ= 0⎪⎨F' y= x+ 2λ= 0⎪⎩2x+ 2y = l2nên: d F( x0, y0, λ0) = 2dxdy.Mặt khác từ điều kiện ϕ( x,y ) = 2x+ 2y− l = 0, suy ra hệ thức:∂ϕ∂ϕ( x0, y0) dx+ ( x0, y0) dy= 0,∂x∂ycó dạng 2dx+2dy=0→ dy=−dx.Do đó:d F( x , y , λ ) =− 2dx< 0.2 20 0 0l lVậy hàm z(x,y) đạt cực đại có điều kiện khi x = , y =4 4nhật có cùng chu vi, hình vuông là hình có diện tích lớn nhất.. Tức là trong số các hình chữVí dụ 2: Tìm cực trị của hàm z = xy trên vòng tròn bán kính 1 với tâm tại gốc toạ độ.Giải: Ta phải tìm cực trị của hàm z = xy thoả mãn điều kiệnHàm Lagrange:Xét hệ phương trình:2 2F( x,y) = xy+ λ( x + y − 1) .1Từ hai phương trình đầu suy ra λ = ± .2Với1λ = hệ có nghiệm2⎧F′ x= y+ 2λx = 0 ⇒ y =−2λx⎪ x⎨F ′ = yx + 2λy = 0 ⇒ y =−⎪2λ2 2⎪ ⎩x+ y − 1=02x = , y=− 2 2và x=−2 2 2 , y= 22 .x+ y − 1= 0.2 2248