Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

160Trong ví dụ 1 của mục 6.1 và và ví dụ 2 của mục 6.3 ta thấy rằng nếu chỉ dùng định nghĩađể tính tích phân xác định thì khối lượng tính toán rất cồng kềnh. Trong mục này ta sẽ đưa racách tính tích phân thuận tiện hơn.6.5.1 Các định nghĩaĐịnh nghĩa 1 Cho hàm f: [a,b] → Hàm số khả vi F: [a,b] → gọi là nguyên hàm của f( x ) trên [a,b] nếuTập hợp tất cả các nguyên hàm của f( x ), kí hiệu làF′ ( x) = f( x)∀x∈ [a,b] (6.5.1)∫ f ( xdx )(6.5.2)gọi là tích phân không xác định của f( x ).Định nghĩa 2 Cho f( x ) khả tích trên [a,b], khi đó ∀x∈ [a,b] hàm f( x ) khả tích trên [a,x](hình 6.5.1). Ta có thể xét hàm sốφ :[a,b] → cho bởiHàm φ ( x)gọi là tích phân xác định như hàm của cận trên.xφ ( x) = ∫ f( t)dt. (6.5.3)aHình 6.5.16.5.2 Tích phân xác định như hàm của cận trênĐịnh lí 6.5.1 Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì φ là một nguyên hàm của f, tức làφ′ ( x)= f ( x)∀x∈ [a,b]. (6.5.4)Chứng minh: Cho x∈ [a,b], với h đủ bé theo định lý trung bình thứ nhất ta cóx+hφ( x + h) − φ( x) = ∫ f() t dt−∫f()t dt = ∫ f () tdtaxax+hx[ ]φ( x + h) − φ( x) = f c( h) . h (6.5.5)160